Ya yüksekliği bilmiyorsak? Günlük hayatta karşımıza çıkan üçgenlerin kenarlarını kolayca ölçebiliriz, ama arazide yatay bir yüksekliği ölçmek hiç kolay değil.
Mesela, kenarları 17, 25 ve 28 metre olan üçgenin alanı nedir? Bu sorunun cevabı Euclid'de değil, ondan birkaç yüz sene sonra yaşamış olan Heron'un formülünde:
Alan² = (a+b+c)(b+c−a)(a+c−b)(a+b−c)/16
= (17+25+28)(25+28−17)(17+28−25)(17+25−28)/16 = 44100
Bu karmaşık görünümlü simetrik formülden Alan = 210 m² bulunur.
Formüle Giden Yol
Kolayca hatırlanacak bir formül değil... En iyisi, hazır geometri bilgimizi kullanarak, iki küçük dik üçgende yazılan iki denklemden h'yi bulmaya çalışalım:
289 − p² = 625 − 784 + 56p − p²
56p = 448 ve p = 8 bulunur.
Buradan h² = 17² − 8² = 225
h = 15 ve Alan = ch/2 = 210 sonucuna ulaştık.
Genelleme
Verilen üç uzunluk için, iki denklemle alanı hesaplamayı başardık. Peki bu hesabı a, b, c kenar uzunlukları için genelleyen Heron formülüne nasıl ulaşacağız?
a² − p² = b² − c² + 2cp − p²
Buradan 2cp = a² − b² + c²
ve p = (a² − b² + c²)/2c bulunur.
[Bu noktada bir nefes alıp p = a cos B olduğunu hatırlarsak, B açısı için kosinüs kuralı yan ürün olarak karşımıza çıkıyor: cos B = (a² − b² + c²)/2ac ]
Öte yandan, iki kare farkını kullanarak, bilinmeyen ifadeyi bir çarpım olarak yazabiliriz:
h² = a² − p² = (a+p)(a−p)
İki kare farkını bir daha kullanalım:
(a+p) = ((a+c)²−b²)/2c = (a+c+b)(a+c−b)/2c
Diğer çarpan da benzer şekilde şöyle hesaplanır:
(a−p) = (b²−(a−c)²)/2c = (b+a−c)(b−a+c)/2c
Bu iki ifadenin çarpımından h², onun c²/4 ile çarpımından alanın karesi bulunur:
Alan² = c²h²/4 = (a+b+c)(b+c−a)(a+c−b)(a+b−c)/16
Heron formülünün bilinen şekline ulaşmak için üçgenin yarı çevresini tanımlayalım:
2s = (a+b+c)
Bu ifadeden sıra ile 2a, 2b, 2c çıkartınca
2(s−a) = (b+c−a)
2(s−b) = (a+c−b)
2(s−c) = (a+b−c) bulunur.
Böylece Alan² = s(s−a)(s−b)(s−c) elde edilir.
Geometrik Kanıt
Bu hesap Heron zamanında yapılamazdı, çünkü cebirsel ifadeler henüz bilinmiyordu. Euclid'in yaptığı gibi, sadece uzunluklar ve oranlar kullanan geometrik bir kanıt gerekiyordu. Öncelikle açıortayların kesiştiği noktayı merkez alan iç çemberi çizelim:
α+β=28, γ+α=25, β+γ=17 denklemlerinden α=18, β=10, γ=7 bulunur.
Çemberin yarıçapı r bilinirse Alan = αr+βr+γr = sr olarak hesaplanır.
Şekilde boyalı üç merkez açının toplamının π radyan (180 derece) olduğunu not edelim, 3. ödevde gerekecek.
Heron'un karmaşık kanıtını anlamak için B'nin açıortayına çizilen dikme ile c kenarına çizilen dikmeyi H noktasında kesiştirelim ve ortaya çıkan sarı ve mavi üçgenlerde benzerlik arayalım:
Cebir kullansaydık, üç bilinmeyenli üç denklem kolayca çözülürdü. Ama cebir bilmeyince aynı işi üçgenler ve orantılarla yapmak gerekiyor!
Son iki eşitlikteki u/r oranını (18−t)/t = 28/7 şeklinde birleştirince, sadece t bilinmeyeni kalır. Paydaları paylara ekleyince orantının bozulmayacağını Heron iyi biliyordu.
Buradan 18/t = 5 ya da t = 18/5 ve ilk orantıdan r² = 10t = 36 olarak bulunur.
Daha önce bulduğumuz gibi, Alan = sr = 35x6 = 210 sonucuna ulaştık. Bu yöntemin genellemesini meraklı okuyucuya bırakıyorum.
Ödev
1. Kenar uzunlukları 15, 20, 25 cm olan üçgenin alanını her iki yöntemle hesaplayın.
2. Alanın tamsayı olduğu başka a, b, c tamsayıları bulabilir misiniz?
wikiwand.com/en/Heronian_triangle
3. Kenarları √2, 2, √10 olan üçgenin alanını formül ile hesaplayın ve temel geometri bilginizle sonucu doğrulayın.
4. Şekildeki mavi üçgenlerin benzerliğini gösterin.
5. Son hesabı genelleştirerek r² = αβγ/s ve
Alan² = sαβγ = s(s−a)(s−b)(s−c) olduğunu gösterin.
Referans
William Dunham, Journey Through Genius The Great Theorems of Mathematics, 1990 (s.118)
