Euler Formülü

1700'lü yıllarda yaşamış Euler'in adıyla anılan en az dört formül var matematik dünyasında. "Euler formula" şeklinde arayınca bunları ve daha fazlasını bulmak mümkün:

Yukarıdaki ilk formülde, üstel fonksiyonun değerini sanal bir argümanla hesaplayınca beklenmedik bir şekilde, trigonometrik fonksiyonlar karşımıza çıkıyor. Bunun x=π için özel hali, 0, 1, e, π ve i sayılarını ikinci formülde bir araya getiriyor. Üçüncü formül, Euler sayısını bir limit olarak hesaplıyor.

En alttaki formül, topolojinin en ilginç kuralını özetliyor:  V+F = E+2

Kural, köşeleri birbirine bağlı bir harita (matematik dilinde connected map) için tanımlanan V, E, F kümelerinin eleman sayıları arasındaki değişmez bir bağıntıyı ifade ediyor.
V = köşeler (vertices) kümesi ya da sayısı
E = kenarlar (edges) kümesi ya da sayısı
F = bölgeler (faces) kümesi ya da sayısı

Cebirde bir sembole ancak bir anlam yüklenir. Burada bir kargaşa söz konusu olmadığı için, V, E, F sembolleri yerine göre kümeleri ya da eleman sayılarını gösteriyor olabilir.

Örnek:  Şekildeki map M = (V, E, F) üçlüsü ile gösterilir.
V = {a, b, d, e, f} köşelerini 7 kenarla birleştirince
E = {ab, ad, bb, bf, bf, de, df} ve F = {A, B, C, D} elde edilir.

Normal bir kümede elemanların tekrarına izin yoktur. Lakin burada b'den f'ye iki kenar olduğundan, E içindeki elemanlar birden fazla olabiliyor. Multiset denen bu kavram, map konusunu çalışırken karşımıza çıkan ilk ayrıcalık. Bir diğeri de, düzlem geometride mümkün olmayan birgen ve ikigenler!

Bu örnekte B bölgesi birgen, D bölgesi ise ikigen. Şeklin dışındaki C bölgesinin sınırları abbfd olduğundan bir beşgen tanımlıyor. A bölgesi ise abfded şeklinde bir altıgen. Bu çokgenlerin kenar sayılarını toplayınca 6+1+5+2 = 14 bulunur ki, map içindeki kenar sayısının iki katıdır. Neden? Çünkü her kenarı iki kere saydık.

Benzer şekilde, her köşedeki kenar sayılarını toplayınca aynı 2+5+3+1+3 = 14 değeri bulunur. Bu iki denklemi genelleştirince, Euler formülüne ek olarak şu ifadeler bulunur:

Kanıt
Euler formülünün doğruluğuna ikna olmak için boş bir map ile başlayalım ve kenarları birer birer ekleyerek istenen M'ye ulaşalım. Boş map M0 içinde hiç kenar olmasın, sadece bir köşe ile başlayalım.

Birinci adımda köşeleri ekleyelim. Her köşe için bir kenar gerektiğine göre, M1 şekline ulaşınca V−1 kenar eklenmiş oldu.

İkinci adımda hazır köşeleri birleştirerek bölgeleri ekleyelim. Her bölge için bir kenar gerektiğine göre, M şekline ulaşınca F−1 kenar daha eklenmiş oldu. Toplam (V−1)+(F−1) kenar eklediğimize göre aranan E = V+F−2 eşitliğine ulaştık.

Kanıt burada tamamlandı ama V+F = E+2 bağıntısının değişmezliğini de kullanabilirdik. M0 için V=1, E=0, F=1 olduğundan verilen denklem başlangıçta doğru. Her kenarı eklerken ya bir köşe ya da bir bölge eklendiğinden denklem değişmez, M için de doğrudur.


Dual Map
Köşelerle bölgelerin yerini değiştirince dual map ortaya çıkar:

Bu örneğin dualinde  V' = {A, B, C, D}  ve  F' = {a, b, d, e, f} olur.

Kenarlar ise, birleştirdiği iki köşe yerine ayırdığı iki bölge ile anılır:
E  = {ab, ad, bb, bf, bf, de, df}  yerine
E' = {AC, AC, BC, AD, CD, AA, AC}

Dual map için farklı çizimler olabilir. Ancak, dualin duali yine orijinal map olacaktır.


Düzgün (Regular) Map
Öyle bir map düşünelim ki, her bölgesi p-gen olsun ve her köşesinde q kenar buluşsun. Euler formülünün sonucu olarak, p ve q sayıları keyfi seçilemez,
pF = 2E , qV = 2E  ve  V+F = E+2  kısıtlarını sağlamak zorundayız.

p=2 halinde, V=2 ve F=E=q bulunur, q kenarla dış bölge dahil q adet ikigen çizilebilir.

q=2 halinde, F=2 ve V=E=p bulunur, p kenarla dış bölge dahil 2 adet p-gen çizilebilir.

Çok ilginç olmayan bu özel halleri göz ardı edip p>2 ve q>2 varsayarsak, (p-2)(q-2)<4 kısıtı bulunur ki, p ve q sayıları için sadece aşağıda gösterilen beş çözüm bulunur. Sonraki konumuzda işlenen düzgün çokyüzlülerin düzlemdeki modellerini bulmuş olduk.

Ödev

1. Dört bölgesinin kenar sayıları {1, 2, 3, 4} olan mapi ve duallerinden birini çizin.
(ipucu: Neden E=5?  O halde V kaç olmalı?)

2. Şekilde gösterilen beş adet düzgün map için p ve q değerlerini bulun.


Referans

http://mathworld.wolfram.com/EulerFormula.html
https://www.wikiwand.com/en/List_of_things_named_after_Leonhard_Euler