Beşgen, Ongen, Euclid

Bir çember içine eşkenar üçgen, kare ve düzgün altıgen çizmeyi ilkokulda öğrenmiştik. Düzgün beşgen çizmek bunlara göre çok daha zordu, çünkü açı ölçmek için hassas bir yöntem bilmiyorduk. İletki kullanmanın zorluğunu o zaman anlamıştım... Meğer matematikçilerin kabul ettiği bir araç değilmiş iletki!

Yalnız cetvel ve pergel ile (açı ve uzunluk ölçmeden) düzgün beşgen çizmenin yolunu Euclid'in Elemanlar kitabında buluyoruz. Yöntemin modern bir yorumunu bu sabah gif dosyası olarak buldum, hemen aktarıyorum. (Kaynağı referanslarda)

Hareketli resim kendisini açıklıyor ama neden doğru olduğunu üç adımda, üç şekil üstünde anlatabilirim. Euclid bu resmi görseydi, kitabındaki Önerme IV:10'u hemen tanırdı. Çünkü bu işlemin her adımını, matematiksel bütünlük içinde 2300 yıl önce anlatmış.

1. A merkezli birim çemberin merkezine, kenarları 1:2 oranında bir dik üçgen çizelim.

BC uzunluğunu altın oran kullanarak yazalım: 

$\sqrt5/2 = \varphi -1/2$ 

2. B merkezli, C'den geçen çemberi çizelim. 

Çemberin iki yarıçapı eşittir: BC = BD

Şekildeki CD uzunluğu, düzgün beşgen probleminin geometrik çözümüdür. AD uzunluğu da $\varphi -1$, birim çember içindeki düzgün ongenin kenar uzunluğudur. (Neden?)

Problem sadece düzgün beşgeni çizmekten ibaret ise, ongenin köşelerini işaretledikten sonra birer atlayarak birleştirmek yeterli. Kenar uzunluğunu sayısal olarak bulmak için bir adım daha gerekiyor.

3. C merkezli, D'den geçen çemberi çizelim. Birim çemberle kesiştiği iki nokta, aradığımız düzgün beşgenin köşeleri olur. Kalan iki köşe yine aynı p değeri ile bulunur.

İki üçgenin yaklaşık kenar uzunluklarını ve karelerini bir tablo halinde görelim:

   uzunluk  karesi

AB  0.500  0.250 1/4

AD  0.618  0.382 2−φ

BC  1.118  1.250 5/4

CD  1.176  1.382 3−φ

Peki neden CD uzunluğu düzgün beşgenin kenarına eşit? Cevabı yine Euclid versin:

Önerme XIII:10
Bir eşkenar beşgen bir çember içine çizilirse, beşgenin kenarı üzerindeki kare, aynı çember içine çizilen altıgenin kenarı ile ongenin kenarı üzerindeki karelere eşittir.

Sayısal bir p değeri aranırsa, ACD dik üçgeninde
$p^2 = 1^2+(\varphi-1)^2 = 3-\varphi$ eşitliğinden hesaplanabilir.

Çember üstünde eşit aralıklı noktalar

Bir çember içine eşkenar üçgen, kare, düzgün beşgen, vb yerleştirme problemi, aslında çemberi $n (=3, 4, 5, ...)$ eşit parçaya bölmekten ibaret. Başka deyişle, birim çember üstünde eşit aralıklı $n$ nokta bulmak istiyoruz. Verilen her $n$ için çözüm var ve açı ölçerek kolayca bulunur.

Açı ölçmeye razı değilsek, yalnız cetvel ve pergel kısıtı ile, her $n$ için çözüm olmayabilir.

Küre üstünde eşit aralıklı noktalar

Üçüncü boyuta geçince durum farklı: Birim küre üstünde eşit aralıklı $n$ nokta aranıyorsa, sadece beş çözüm var: $n = 4, 6, 8, 12, 20$ olabilir. Platonik cisimler olarak bilinen beş düzgün çokyüzlü. Euclid Elemanlar'ın son kitabında bu çözümleri buluyor ve son önermesinde (XIII:18) hepsini yarım çember içinde göstererek muhteşem bir güzellik sergiliyor.

Şimdi de diyorum ki, yukarıda sözü edilen beş şekil dışında, birbirine eşit, eşkenar ve eşaçılı şekiller tarafından içerilen başka şekil [cisim] çizilemez.

Ödev

1. $(\varphi-1)^2 = 2-\varphi, \quad 3-\varphi = (5-\sqrt 5)/2$ eşitliklerini doğrulayın.

2. Kenarları $(1, 1, \varphi-1)$ olan üçgende neden taban açıları tepe açısının iki katıdır? Düzgün ongen yapmak için bu üçgenlerden kaç tane gerektiğini düşünerek, AD uzunluğunun ongenin kenarı olduğunu gösterin.

3. Şekildeki A noktasının DE doğru parçasını altın oranda böldüğünü gösterin.

4. Euclid düzgün beşgen için tutarlı olarak "eşkenarlı ve eşaçılı beşgen" ifadesini kullanır. Yukarıdaki önermede neden "eşaçılı" nitelemesine gerek duymamış?

Referanslar

Öklid'in Elemanları, Ali Sinan Sertöz, 2018
sertoz.bilkent.edu.tr/elemanlar.htm

Yazıya konu olan hareketli resim şurada:
en.wikipedia.org/wiki/Decagon

GIF için linkler: Aldoaldoz / CC BY-SA

Resmi parçalarına bölmek için link: ezgif.com/split

Beşgen sayfasındaki yöntemler çok daha karmaşık:
en.wikipedia.org/wiki/Pentagon

Altın Oran: /2017/07/altn-oran.html

Üçgenin açıları

Bir üçgenin iç açıları toplamının 180° olduğunu küçük yaşta öğrendik ve öyle kabul ettik. Üçgen kendi boyumuz kadar olunca bu bilgi doğru ve faydalı. Lakin ülkeler boyunda bir üçgenin iç açıları toplamı 180 dereceden daha büyüktür. Mesela kuzey kutbundan başlayıp tam ekvatora kadar çeyrek tur gidelim. 90° dönüp aynı miktar ilerleyelim. Kuzeye dönerek üçgeni tamamlayalım. Kenar uzunluğu tam 10.000 km olan bir eşkenar üçgen tanımladık. Her açısı 90° olduğu için, iç açıları toplamı 270° olan bir üçgen bulduk:

"Ama bu üçgen düz değil, eğri!" diyorsanız, "düz" ne demek bir düşünelim. Elbette uzaydan bakabilsek eğri olduğunu anlarız, ama yeryüzüne bağlı olduğumuz sürece, bu düzgün bir üçgendir. Matematikçiler "küresel üçgen" diyerek bir ayrım yapmışlar. Yani iç açılar toplamı düzlemde basitçe 180° iken küre üstünde daha büyük olabilir. Acaba toplam açıyı bulan basit bir formülü var mı? (var elbette, olmasa bu yazıyı yazamazdım)


Yay uzunluğu ve Radyan ölçüsü

Alan konusuna gelmeden önce, acaba eğrilerin uzunluğu nasıl ölçülür? En basit eğri, yarıçapı $r=1$ olan birim çember üstündeki yay:

Birim çember üstünde açıyı uzunluğa eşitleyen "radyan" ölçüsünü kullanırsak, tanım gereği, $\alpha$ (alfa) hem açıyı hem de yay uzunluğunu gösterir. Çemberin uzunluğu $2\pi$ olduğuna göre, dik açı $\pi/2$ ve doğru açı $\pi$ radyan olarak ölçülür.

Alıştığımız derece ölçüsü biraz keyfi. Neden tam açı 360° olsun? Çünkü bir yıldaki gün sayısına yakın ve küçük sayıların çoğuna tam bölünebilen bir sayı. Yıldızlar her gün yaklaşık bir derece hareket eder bu ölçü ile... İki ölçü arasındaki geçiş zor değil. Derece ölçüsünü $\pi$ ile çarpıp 180'e bölünce radyan ölçüsü bulunur:
$\large \alpha = \pi d/180$

Yarıçap $r=1$ değilse, bütün uzunluklar $r$ ile çarpılır ve yay uzunluğu şöyle bulunur:
$\alpha r = \pi rd/180.$ Formülde $d = 360^{\circ}$ iken çember uzunluğu $2\pi r$ olarak doğrulanır.

Küresel dilimin alanı

Yarıçapı $r=1$ olan birim küre üstünde, iki kutup noktasından geçen iki büyük çember çizelim. Çemberlerin arasındaki açı $\alpha$ olsun. Arada kalan dilimin alanı nedir?

Özel bir hal olarak $\alpha = 2\pi$ alırsak, dilim bütün küreyi kaplar. Bu durumda alan $4\pi$ olduğuna göre, dilim alanı, açının radyan ölçüsünün iki katı $(2\alpha)$ olmalı.

Kürenin yarıçapı $r=1$ değilse bütün alanlar $r^2$ ile çarpılır. Derece kullanılırsa, yukarıdaki dönüşüm ile dilim alanını veren formüle ulaşırız:

$\large 2\alpha r^2 = \pi r^2 d/90$

Küresel üçgende iç açılar

Radyan ölçüsünü ve kürenin dilim alanını bilince, küresel üçgenin açılarını toplamaya bir adım kaldı. Birim küre üstünde herhangi bir T üçgenini düşünelim. Kırmızı, yeşil, mavi köşelerdeki iç açılar aynı sırayla α, β, γ olsun. 

Üçgenin kenarlarını üç adet büyük çembere uzatalım. Üç çemberin üç çift dilim tanımladığı görülüyor: A+T, B+T, C+T. Bu dilimler kürenin ön ve arka tarafında aynen tekrar ediliyor. T üçgenin tekrarı ise, kürenin arkasında (görünmeyen) kırmızı, yeşil, mavi köşelerde gizli. Yani dört çeşit ügen (T, A, B, C) herbirinden iki adet var.

Şimdiye kadar üçgenlerin adı olan T, A, B, C harflerini, aynı üçgenlerin alanı için kullanırsak, her dilimin alanı şöyle bulunur:

$A+T = 2\alpha, B+T = 2\beta, C+T = 2\gamma$

Üç denklemi toplayınca:

$A+B+C+3T = 2(\alpha+\beta+\gamma)$

Öte yandan, yarım kürenin alanı:

$A+B+C+T = 2\pi$ olduğu için

$T = (\alpha+\beta+\gamma-\pi)$ bulunur.

Birim küre üstündeki üçgenin iç açıları toplamı $= \pi$ radyan (180°) + üçgenin alanı.

 

Eğilen uzay

Buraya kadar yazılanlar bin yıl önce gemicilerin kullandığı ve matematikçilerin iyi bildiği, küresel geometri. Yerkürenin şeklinden dolayı, büyük üçgenlerin iç açıları toplamı 180 dereceden fazla çıkıyor. Peki uzayda nasıl?

İzafiyet (relativity) teorisi, uzayın (göremediğimiz) bir boyutta eğildiğini söylüyor ve kütle çekiminin temeline geometriyi yerleştiriyor. Gezegenler ölçeğinde bakıldığında, ışığın yolunda gözlenen minik sapmalar bu şekilde açıklanıyor. Üç boyuttan dışarı çıkıp bakamadığımız için belki de gerçekliği hiçbir zaman bilinemeyen bir teori.

Ödev

1. Son şekilde $A = (\alpha-\beta-\gamma+\pi)$ eşitliğini gösterin ve buradan $A+B+C+T = 2\pi$ denklemini doğrulayın

2. $T = (\alpha+\beta+\gamma-\pi)$ ifadesini derece ölçüsü ile, sağ tarafı $r^2$ ile çarparak yazın

3. Yerkürenin alanını 500 milyon km², Türkiye'nin alanını 800 bin km² alarak, ülkemiz boyunda bir üçgenin iç açıları toplamını tahmin edin (cevap 181° civarında)

Referans

Dik açılı eşkenar üçgen Britannica'dan:

https://www.britannica.com/science/latitude

Küresel dilim şekli Wolfram'dan:

https://mathworld.wolfram.com/SphericalLune.html

Son şekli ve açıklamasını buradan basitleştirdim

Bu yazıyı kuzenim Halid Abay'a ithaf ediyorum.