- Gökkuşağında yedi renk var
- Piyanoda yedi notayı dinle
- Yedinci katta oturuyoruz
- Baban yedide gelecek
- Prenses ve yedi cüce
Toplama
Bir tabaktaki üç hurma ile başka bir tabaktaki iki hurmayı birleştirince, toplam beş hurmamız olduğunu 3+2=5 şeklinde sembollerle ifade ediyoruz. Bu ifadenin gücü, toplanan şeylerden bağımsız olması... Yani elmalar, saatler, liralar, vb aynı şekilde toplanabilir.
Toplama işleminin özelliklerini cebirsel ifadelerle anlayalım. Rastgele seçilen üç doğal sayı a, b, c olsun. Aşağıdaki özelliklerin, kümelerin davranışından kaynaklandığı kolayca görülebilir:
- Değişme: a+b = b+a Toplamayı hangi sırada yaptığımızın önemi yok
- Birleşme: (a+b)+c = a+(b+c) Önce hangi toplamayı yaptığımızın önemi yok
- Sıfır: 0+a = a Bir sayıya sıfır ekleyince sayı değişmez
Çarpma
Sıradaki ikinci işlem çıkarma değil çarpma: Bir a sayısından hiç almazsak sonuç sıfır, bir tane alırsak a, iki tane alırsak a+a, ... Bu diziyi nasıl genelleyelim?
0a = 0
1a = 0a+a
2a = 1a+a
3a = 2a+a
...
(b+1)a = ba+a
İlk ve son formül, her a ve b doğal sayısının çarpımını tanımlıyor. Bu tanımdan yola çıkarak çarpmanın özelliklerine ulaşabiliriz:
- Değişme: ab = ba Çarpmayı hangi sırada yaptığımızın önemi yok
- Birleşme: (ab)c = a(bc) Önce hangi çarpmayı yaptığımızın önemi yok
- Sıfır: 0a = 0 Bir sayıyı sıfırla çarpınca sıfır çıkar
- Bir: 1a = a Bir sayıyı birle çarpınca sayı değişmez
- Dağılma: (b+c)a = ba+ca Ortak çarpanla bir kere çarpmak yeterli
Çıkarma
Çıkarma işleminin zorluğu, doğal sayılarda kapalı olmaması. Mesela üçten beş çıkmayacağını küçük yaşta öğrenmiştik. Sorun, sıfırdan önceki sayının yokluğu... Bir sayıdan, kendisinden daha büyük bir sayı çıkarabilmek için negatif sayılar gerekiyor. Bu anlayışa ancak ortaokul yaşlarına ulaştık.
Negatif sayıları tanımlamak amacı ile 1−1=0 eşitliğini −1+1=0 şeklinde yazmak, sıfırdan sonraki en önemli keşfimiz olabilir: Böyle yazınca, "eksi bir" de "bir" gibi sayı oldu! Bu sayı, "bir"in negatifi, çünkü bir ekleyince sıfır çıkıyor. İşte, sıfırdan önceki doğal olmayan sayı bu...
Şimdi bu son eşitliği bir a doğal sayısı ile çarpalım: (−1)a+a = 0
(−1)a sayısını −a şeklinde gösterirsek, her sayının negatifini elde ederiz: −a+a = 0
Artık çıkarma işlemi şöyle tanımlanabilir: b−a = b+(−a)
Böylece, "çıkarma, toplamanın ters işlemi" denilebilir: (b−a)+a = b+(−a)+a = b
Bu tanımın geçerli olması için, her sayının negatifini doğal sayılar kümesine ekliyor ve tamsayılar kümesine ulaşıyoruz. Toplama ve çarpmanın yukarıda sayılan bütün özellikleri negatif tamsayılar de geçerli. Lakin, çıkarma işleminde bu özelliklerin çoğu kayboluyor:
- Değişme yok: a−b = −(b−a) Sıra değişince işaret de değişir
- Birleşme yok: (a−b)−c = a−(b+c), a−(b−c) = (a−b)+c
- Sıfır: a−0 = a, 0−a = −a
- Dağılma var: (b−c)a = ba−ca
−2+2 = 0 eşitliğini mesela (−3) ile çarpalım
(−2)(−3)+2(−3) = 0(−3)
(−2)(−3)+(−6) = 0
Demek ki (−2)(−3) = 6 olmalı, çünkü −6 ekleyince sıfır çıkıyor.
Bölme
Tamsayılar dünyasında çarpmanın tersi çok kısıtlı bir işlem. Mesela 20 sayısının bölenlerini bulalım:
20 = 1×20 = 2×10 = 4×5 olduğuna göre, 20'nin bölenleri {1, 2, 4, 5, 10, 20} kümesinden ibaret. Yani 20 sayısı ancak bu sayıların biriyle bölünebilir.
Böylece, bölme de çarpmanın ters işlemi oldu: (b/a)a = b
Sıfır ise hiçbir sayının böleni olmadığına göre hiçbir sayı asla sıfıra bölünemez. Sıfıra bölmek matematikte ve yazılımda önemli bir hata kabul edilir.
Bu kadar kısıtlı bir işlemin fazla özelliği olmayacağı açık:
- Değişme yok: a=±b değilse a/b ≠ b/a
- Birleşme yok: c=±1 değilse (a/b)/c ≠ a/(b/c)
- Sıfır: 0/a = 0 Sıfırı bir sayıya bölünce sıfır çıkar (a≠0)
(a/0 tanımsızdır, sıfıra bölmek önemli bir hatadır) - Bir: a/1 = a Bir sayıyı bire bölünce sayı değişmez
- Dağılma var: (b±c)/a = (b/a)±(c/a)
Ödev
1. Sıfır özelliğini taşıyan her sayının sıfıra eşit olması gerektiğini gösterin:
Her a için s+a = a ise, s=0 olmalı
2. Bölmenin dağılma özelliğini a=5, b=75, c=25 sayıları ile doğrulayın
Not: Bu yazıyı sevgili kuzenim Halid Abay'a ithaf ediyorum 11 Mayıs 2018
