Pisagor Teoremi

Ortaokul yaşlarında öğrenip de hayran kaldığım bu hakikatin neden doğru olduğunu o zaman çok merak etmiştim. Meğer yüzlerce ispatı varmış. Penrose bunlardan ikisini öyle vermiş ki, tekrar hayrete düştüm, yeniden hayran kaldım. Bir bilmece ile başlayalım: Farklı boyda iki kare verilmiş, bunları düz çizgilerle kesip yeniden düzenleyerek büyük bir tek kare yapabilir misiniz? Aşağıdaki şekil, bunun nasıl olacağını kolayca gösteriyor:

Büyük kare üstünde a uzunluğunu işaretledikten sonra, iki kareyi yan yana koyalım. Birbirine dik iki darbe ile kareleri beş parçaya bölelim. Üç parçanın yerini değiştirerek büyük kare kolayca elde edilir.

En sağdaki üçgenin kenarları arasında a² + b² = c² eşitliğini göstermiş olduk. 2500 sene önce İyonya'da yaşamış Pisagor'un adını taşıyan bu teoremin yüzlerce ispatından en güzel ve basit beş tanesini buraya aldım.

Teoremin cebir-geometri karışık ispatları pek hoştur:

Soldaki şekilde, her üçgenin alanı ab/2 olduğundan, (a+b)² − 2ab = c² ifadesi bir hamlede sonuca ulaşıyor. Sağda ise, (b−a)² + 2ab = c² eşitliği aynı sonucu veriyor.

Penrose'un verdiği ilk kanıt sadece geometri kullanıyor, cebir yok:

İki üçgeni ötelemek yeter, ne sayı ne de söz gerekiyor...

Benzer Üçgenler
Pisagor teoreminin en çarpıcı kanıtları benzerlik üstüne kurulmuş:

Düşey çizginin ayırdığı iki üçgenle, asıl üçgenin benzerliği çok açık.
Küçük üçgende p/a = a/c ==> a² = pc
Büyük üçgende q/b = b/c ==> b² = qc
İki tarafı toplayıp c = p+q olduğunu görmek yeterli.

Penrose'un verdiği ikinci kanıt da aynı benzerliği kullanıyor. Şekildeki üç üçgen benzer olduğu için, her birinin alanı uzun kenarının karesi ile orantılı. Üçgenlerin alanları S1 + S2 = S olduğundan, a² + b² = c².

Geometrik Kanıt
Buraya aldığım ispatları Euclid beğenip de kitabına koymazdı. Çünkü hiçbiri temel aksiyomlara kadar inen bir mantık zinciri değil. Pisagor'dan 250 yıl sonra yazılan Elements isimli geometri kitabında temellere dayanan ispatı basitleştirerek buraya alalım:

Şekildeki mavi ve sarı üçgenler eşit. Sarı üçgenin alanı, karenin alanının yarısı: a²/2. Mavi üçgen ise soldaki dikdörtgenin yarısı, yani o da a². Aynı şekilde, sağdaki dikdörtgenin alanı b² olduğuna göre, a² + b² = c² bulunur.

Ödev

a²+b²+c² = d² denklemine tamsayılı çözümler bulun


Referans

Bu yazının aslı, 2007 yılında İki Kareden Tek Kareye olarak yayınlanmıştı

Roger Penrose, The Road to Reality: A Complete Guide to the Laws of the Universe, 2004

Pythagorean theorem:
Wikipedia
Mathworld
Mathsisfun
Cut-the-knot