Euclid ve çağdaşları için, sayı -adı üstünde- sayılabilen sayılardan ibaret idi: Doğal sayılar olarak isim verdiğimiz N kümesi. Son bin seneye kadar sıfır sayı olarak bile görülmüyordu ama bugünkü anlayışımıza göre 0 bu kümenin en önemli üyesi.
İki doğal sayı a ve b verildiğinde, bunlar arasında bir sıralama söz konusu:
a<b veya a=b ya da a>b durumlarından sadece biri doğru olmak zorunda. Sayılar büyük olduğunda sıralamak için biraz uğraşmak gerekebilir. Mesela şu sayıların hangisi daha büyük: 123456789 ve 1234112233?
Ya da şu iki kümenin eleman sayısının aynı olduğunu görüyor musunuz?
A = { a | a²=9 } B = { 4, 2+3, 6-2, 5 }
Doğal sayılarla toplama ve çarpma yapmayı küçük yaşlarda öğrendiğimiz için bu iki işlemi hiç yadırgamayız. Ne kadar büyük olursa olsun, bana iki sayı verin, toplamını ve çarpımını hemen bulabilirim. Sıfır ve bir sayılarının özel önemini, her a doğal sayısı için doğru olan şu eşitlikler belirliyor:
0+a = a 0a = 0 1a = a
Toplama ve çarpmanın temel özelliklerini kaydedelim. Verilen a, b, c doğal sayıları için:
a+b = b+a a+(b+c) = (a+b)+c = a+b+c
ab = ba a(bc) = (ab)c =abc (a+b)c = ac+ab
Toplamadan çarpmaya şu kuralla geçilebilir: ab = a(b-1)+a (b>0 ise)
Yani 2a=a+a ve 3a=2a+a
Aynı şekilde, üs alma işlemi çarpma üstünden tanımlanabilir: ab = ab-1a (b>0 ise)
Yani a²=aa ve a³=a²a
Toplama için artı işareti kullanıldığı halde, standart cebirde çarpma için bir sembol çoğu zaman gerekmez. 12a ifadesi a'nın 12 katını gösterir. Ancak iki sabit sayıyı çarpmak gerektiğinde araya nokta (⋅) ya da çarpı (×) koymak gerekir: 12×5 gibi...
Çıkarma işlemini toplamanın tersi olarak tanımlayalım: 7−4=3 çünkü 7=3+4
Ama 4−7 işlemine gelince, "4'ten 7 çıkmaz" diyoruz çünkü 4<7.
Benzer bir şekilde, 2×5=10 olduğundan, 10/5=2 ama "10 sayısı 3'e bölünmez" diyoruz doğal sayılar kümesinde.
Negatif Sayılar
Doğal sayılara yapacağımız ilk ekleme çıkarma işlemini genelleştirmemizi sağlıyor. Öyle bir m sayısı "icat edelim" ki 1+m=0 olsun. Bu m sayısı doğal değil, çünkü m hiçbir kümenin eleman sayısı olamaz. Peki m sayısı ne işe yarar?
Her doğal sayıdan önceki sayıyı ve sonraki sayıyı kolayca bulabiliriz -- sıfır hariç. "Sıfırdan önceki sayı m olsun" varsayımı ile m'yi ve m'nin katlarını N kümesine eklersek Z (tamsayılar) kümesine ulaşırız.
Tanım denklemini 2 ile çarpınca (1+m)2=2+m2=0 buluyoruz. O halde m2 (m'nin 2 katı) sayısı 2'nin toplamaya göre tersi, yani negatifi olur. Bunu −2 olarak gösterince negatif sayıları tanımlamış olduk.
Tanım denklemini m ile çarpınca (1+m)m=m+m²=0 buluyoruz. Bu denklemin iki tarafına 1 ekleyince 1+m+m²=1 ya da m²=1 özelliğini cebirsel işlemlerle kanıtlarız.
Yukarıda söz konusu olan 4−7 işlemini 4+m7 olarak tanımlayıp m7=m(4+3)=m4+m3 özelliğini kullanarak 4−7=4+m4+m3=m3 yani −3 sonucunu buluruz.
Kesirli Sayılar
Çıkarma işlemini genelleştirmek için bir tek m sayısı ve m'nin katları yeterli olmuştu. Çarpmanın ters işlemi olarak bölmeyi genelleştirmek için her tamsayının tersine ve bunların katlarına ihtiyaç var: 3'ün tersi: 1/3, bunun 10 katı: 10/3
Böylece 10 bölü 3 işleminin sonucunu 10/3 sayısı olarak tanımlayabiliriz. p=a/b kesirli sayısında a bir tamsayı (pozitif, sıfır, negatif olabilir), paydadaki b ise pozitif doğal sayı olmak zorunda.
Eşitleme, sıralama, toplama, çarpma ve ters eleman aşağıdaki tabloda tanımlanıyor:
Her kesir için 2/3=10/15=30/45 gibi sınırsız sayıda gösterim var.
Doğal sayılar için de durum aynı: 7/1=35/5=105/15
0/b şeklindeki kesirler, doğal sıfırın özelliklerini taşıdığı için 0 olarak yazılır.
b/b şeklindeki kesirler, doğal birin özelliklerini taşıdığı için 1 olarak yazılır.
Verilen bir p sayısının negatifi, tamsayılarda olduğu gibi −p ile gösterilir ve p+(−p)=0 özdeşliğini sağlar. Negatifi kendisine eşit olan tek sayı sıfırdır. Verilen bir p sayısının tersi, p-1 ile gösterilir ve p(p-1)=1 özdeşliğini sağlar. p=a/b sayısının tersi, a=0 durumunda tanımsızdır. Sıfır değilse, tanım gereği mesela 8'in tersi 1/8, −3/5'in tersi −5/3 olarak bulunur. Tersi kendisine eşit olan tek sayı birdir.
Kesirli sayıları da ekleyince Q (rasyonel sayılar) kümesine ulaşmış olduk. Rasyonel sayılar kümesinde dört işlemi eksiksiz tanımlamış olduk. Bilgisayarların kullandığı aritmetik de rasyonel olduğuna göre, bütün sayısal uygulamalar bu kümenin içindedir denilebilir.
İrrasyonel Sayılar
Uygulamayı etkilemeyen, ama matematikçileri rahatsız eden önemli bir sorun kaldı: Kenarları birim uzunluktaki eşkenar üçgenin yüksekliğini ya da karenin köşegenini rasyonel sayı olarak yazamazsınız. Başka bir deyişle, 2'nin ya da 3'ün kare kökü iki tamsayının oranı değildir!
Üstelik bu sorun kare köklerle sınırlı değil. Bütün rasyonel sayıların bütün köklerini eklesek bile, aralarında sonsuz irrasyonel sayı kalıyor.
Sanal Sayılar
Yolculuğumuzun son durağında bir sayı türü daha gerekecek. Negatif sayıları göstermek için 1+m=0 şartını sağlayan bir tek sayı icat etmek yeterli olmuştu. Sanal sayılara geçmek için de i²=m şartını sağlayan bir i sayısı gerekiyor -- gerisi düz cebir:
Doğal sayılara negatif sayıları ekleyerek tamsayılara,
kesirli sayıları ekleyerek rasyonel sayılara,
irrasyonel sayıları ekleyerek reel sayılara,
sanal sayıları ekleyerek kompleks sayılara ulaşmış olduk.
Sayılar dünyasındaki seyahat burada bitiyor, çünkü bütün cebirsel denklemleri bu sayılarla çözebiliyoruz. Denklem çözmek için başka bir sayı türü gerekmiyor.
Ödev
1. z=5+12i sayısının iki kare kökünü
a) (x+iy)²=z eşitliğinden iki denklem yazarak,
b) polar koordinatlar kullanarak bulun
2. Bir'in dördüncü köklerini bulun
(z⁴=1 denkleminin 4 farklı kökü var)
3. Google and Wolfram'a "log(-1)" sorunca farklı cevaplar geliyor:
www.wolframalpha.com/input/?i=log+(-1)
www.google.com/search?q=log(-1)
Hangisi doğrusu?
Referans
https://www.wikiwand.com/en/Number
http://www.feynmanlectures.caltech.edu/I_22.html
