Temel Fonksiyonlar

Bu bölümde temel dört analitik fonksiyonun (exp, log, sin, cos) aynı kaynaktan türetildiğini vurgulamak istiyorum. Diyelim ki bir matematik öğrencisi temel analiz konularını, özellikle limit ve türev kavramlarını, teorik olarak çalışmış, fakat bu dört fonksiyonu hiç görmemiş olsun. Çok basit bir tek varsayımla, bu fonksiyonların bütün özellikleri kanıtlanabilir mi?

Temel varsayım şu: Öyle bir e(x) fonksiyonu arıyoruz ki her noktadaki türevi kendisine eşit ve 0 noktasındaki değeri 1 olsun.

Euler sayısı -- ondalık ve kesirli hesap

Euler formülü -- karmaşık sayılar


sin() ve cos() fonksiyonları, pi sayısı


Logaritma



Ödev

1. Excel ya da benzeri bir programla e(x) fonksiyonunu yaklaşık olarak hesaplatın. Negatif x değerleri için yakınsamanın yavaş olduğuna dikkat edin. Bu sorunu nasıl çözersiniz?

2. Metinde geçen c(x) ve s(x) fonksiyonlarını aynı şekilde hesaplatın. Trigonometrik fonksiyonlarla aynı değeri hesapladığını gösterin. Özel iki değer x=π ve x=π/2 için yakınsama nasıl?

3. Euler sayısının hesabında kullanılan limiti genelleştirin  (1+a/n) ^n  -->  e(a)

4. Eymen'in sınavda bir soruyu doğru cevaplama olasılığı 9/10 olsun. 10 soruluk bir sınavda 10 doğru olasılığı nedir?  n soruluk sınavda bir soruyu doğru yapma olasılığı (n–1)/n ise, sınavın tamamını doğru yapma olasılığı (1–1/n)^n hangi sayıya yakınsar?
(Eski bir öğrencim Onur Karadeli'nin katkısı)

Referans

http://mathworld.wolfram.com/RootofUnity.html