Binom Teoremi

Verilen bir kümenin alt kümelerinin sayısını bulalım. Mesela, { a, b, c } kümesinin 8 adet alt kümesi olduğunu cebir yardımı ile görebiliriz:
(1+a)(1+b)(1+c) = 1 + a+b+c + ab+ac+bc + abc

Sağdaki 8 terimi eleman sayısına göre gruplayınca, 0 elemanlı bir tek boş küme, 1 elemanlı üç küme, 2 elemanlı üç küme ve 3 elemanlı bir küme olduğu hemen görünüyor. Pascal üçgeninin 3. satırındaki 1-3-3-1 dizisini bulduk.

a = b = c eşitlik durumunda elemanlar arasındaki ayırım kalkar ve

(1+a)³ = 1 + 3a + 3a² + a³

Matematikte "n elemanın k'lı alt kümeleri sayısı" çok sık geçtiği için, bu ifadeye özel bir notasyon bulmuşlar. İki parantez arasında n ve k sayılarını alt alta gösteren bu notasyonu kullanınca, aynı denklem şu şekli alır:

Böylece, binom teoreminin n=3 için özel halini elde ettik. Teoremin genel hali ise:

a≪1 halinde, toplamın ilk birkaç terimi yeterli olacaktır:

(1+a)^n = 1 + na + n(n-1)a²/2 + . . .

a = 1 özel halinde ise, alt kümelerin toplam sayısının 2^n olduğu hemen bulunur.