2022
2020
4.07.2024
Bölünebilme
3, 4, 5, 6, 9, 10, 12 sayıları ile bölünebilme, ilkokulda öğrenip hiç unutmadığımız bilgilerdendir. Zaman içinde bu listeye 8 ve 11 de eklenmiş olabilir. Geri kalan 7, 13, 16, 17, 19 ile bölünebilme kuralları öncekiler kadar basit olmadığı için, bunların yazıldığı bir kitap da görmemiştim. Yakın zamanda bulduğum şu sayfa ilginç:
https://tr.wikipedia.org/wiki/Bölünebilme_kuralları
Bu sayfada en zor kurallar 7 ve 13 için verilmiş, 16 için bir kural yok. 17 ve 19 için verilen yöntem ise genelleştirmeye uygun. Bu yöntemi 19 ve 7 için, aşağıda örneklerle anlatıyorum. Kutulara farklı değerler girerek siz de deneyebilirsiniz.
19 ile bölünebilme
Elimizdeki en az iki basamaklı sayı $m = 10a+b$ olsun. Yani, sayının son basamağı $b$, önceki basamakları $a$.
Sayının iki katını şöyle yazabiliriz: (Neden?)
$2m = 20a+2b \equiv a+2b \pmod {19}$
Verilen sayı $m$ 19 ile bölünebilirse, ondan daha küçük olan $a+2b$ sayısı da tam bölünür. Aşağıdaki örnekte, sondan başlayarak her basamağın iki katı, sayının kalan kısmına ekleniyor, küçük bir sayıya ulaşıncaya kadar:
m = 92701 olsun 92701 = 9270*10 + 1 => 9270+2 9272 = 927*10 + 2 => 927+4 931 = 931*10 + 1 => 931+2 95 = 9*10 + 5 => 9+10 19 OK -- m 19'un tam katıdır
Verilen sayı 19'un tam katı değilse, kalanı bulmak için bu yöntemi biraz değiştirmek gerekir:
$2m \equiv a+2b \pmod {19}$
$m \equiv a/2+b$ (a çift ise)
$m \equiv (a+19)/2+b$ (a tek ise)
 |
| 7 ve 11 en zor kural |
7 ile bölünebilme
Elimizdeki en az iki basamaklı sayı $m = 10a+b$ olsun. Yani, sayının son basamağı $b$, önceki basamakları $a$. Sayının iki katını şöyle yazabiliriz: (Neden?)
$2m = 20a+2b \equiv -a+2b \pmod {7}$
Verilen sayı $m$ 7 ile bölünebilirse, ondan daha küçük olan $a-2b$ sayısı da tam bölünür. Aşağıdaki örnekte, sondan başlayarak her basamağın iki katı, sayının kalan kısmından çıkartılıyor, küçük bir sayıya ulaşıncaya kadar:
Verilen sayı 7'nin tam katı değilse, kalanı bulmak için bu yötemin nasıl değiştirileceğini meraklı okuyucuya bırakalım.
Bölme bundan daha kolay değil mi?
Bilgisayar için fark etmez. Yanınızda bilgisayar ya da hesap makinesi yoksa, elle hesap bu yöntemle daha kolay olabilir.
30.12.2022
LaTeX ve GitHub
Bu yıl iki önemli teknoloji birleşti ve matematik sayfalarının daha güzel görünmesini ve daha kolay yapılmasını sağladı. Matematik formülleri kitap kalitesinde yazmanın en kolay yolu olan LaTeX ile kendi sayfalarımızı yayınlamanın en etkin yolu olan GitHub nasıl bir araya geldi? Sorunun cevabı üç meşhur yazılım sisteminin tarihçesinde...
Şu GitHub sayfası bugün vardığımız yeri özetliyor:
maeyler.github.io/Sunumlar/math/sample
 |
| Bu iki teknolojiyi web sayfaları (HTML) birleştiriyor |
TeX 1978 ve LaTeX 1984
Bilgisayar bilimlerindeki bütün bilgileri bir araya getirip 5 ciltlik bir ansiklopedi yazmak isteyen Donald Knuth, 3. cildi hazırlarken bir sürprizle karşılaştı: Geleneksel baskı teknikleri yerini bilgisayarlı dizgi makinelerine bırakıyordu. Lakin yeni ürünlerin kalitesi kabul edilir gibi değildi. Durumu düzeltmek için bir yılını feda etmeye karar verdi ve üniversiteden bir yıl izin alarak işe koyuldu.
Bir sene sonunda ürün ortaya çıktı ama titiz bir yazar için yeterli değildi. Knuth'un kendi onayını alması için 10 yıl daha geçti. Tek kişilik çabanın ürünü olan TeX hakikaten fizik ve mühendisliğin bütün alanlarında standart yazım dili haline geldi.
https://en.wikipedia.org/wiki/TeX
LaTeX, bu sisteme akademik yayınları kolaylaştırmaya yönelik pek çok şablon eklemiş. Bu özellikler hazır geldiği için TeX yazılımının yaygınlaşmasına önemli bir katkı sağlıyor.
Ansiklopediye ne oldu dersiniz? 4. cilt iki kitap olarak tamamlandı. 85 yaşındaki yazar, 5. ciltten sonra geri dönüp ilk üç cildi yeniden yazmayı planlıyor! Sonra da hepsini tek ciltte özetlemek istiyor. Hayat hakikaten kısa, bilimin bir dalı bile sığmıyor...
HTML 1993 ve MD 2004
TeX yazılımının henüz bilinmediği 1980 yılında, tanınmamış bir fizikçi, Tim Berners-Lee dokümanlar arasında hızlı geçiş sağlayan basit bir sistem önerdi. Teklif "çok basit, işimize yaramaz" diyerek çöpe atıldı. Basitliğin büyük bir güç olduğunun anlaşılması 10 yıldan fazla sürdü. Tek kişilik çabanın ürünü olan HTML, hakikaten bütün web sayfalarının standart dili haline geldi. Bunu bilgisayar mühendisleri tasarlasaydı çok daha karmaşık kapalı bir sistem olurdu.
https://en.wikipedia.org/wiki/HTML
Lakin, HTML ile sayfa hazırlamak (bütün basitliğine rağmen) zor geliyordu. Adındaki M harfinin "markup" olduğunu gören iki yazılımcı, buna nazire olarak MarkDown kavramını geliştirdi. Buradaki katkı HTML ile kıyaslanamaz ama işleri basitleştiren her gayret kayda değer.
Git 2005 ve GitHub 2008
Bu arada, başka bir basitleştirme ustası, Linus Torvalds dev bir yazılım olan Linux işletim sistemini açık kaynak olarak dünyaya kabul ettirmişti. Linux 10 yıl içinde iyice büyüdü ve çok sayıda yazılımcının katkısı ile güçlendi. Farklı kişilerin yaptığı işleri kontrol edebilmek için geliştirilen Git, karmaşık bir sürüm yönetim sistemi. Karmaşıklığına rağmen, çok basit komutlarla kullanılıyor. Tek kişilik çabanın ürünü olarak ortaya çıkan Git, bugün pek çok yazılım sisteminin standart aracı haline geldi.
https://en.wikipedia.org/wiki/git
Lakin tek başına sürüm kontrolü yetmiyor. Yazılımı buluta kaydetmek ve takımların çalışmasını uzaktan yönetebilmek de lazım. GitHub işte bu ihtiyaca cevap veriyor. Eski bir öğrencim "GitHub yazılımcılar için CV görevi görüyor" demişti, ne kadar doğru olduğunu içine girince anladım.
Kendi hayatıma etkileri
1979'da doktorayı tamamlarken çok kişi elektronik yöntemlere geçmişti. Benim tezim ise (o bölümde) daktiloda yazılan son işlerden biri olmalı. TeX henüz. duyulmamıştı. 1988'de doçent olarak Bilkent'e gittiğimde nerdeyse bütün makalelerin LaTeX ile yazıldığını gördüm. O sırada yeni çıkan Mac yazılımını (What You See Is What You Get) tercih ettim, çünkü TeX bana çok zor göründü. 2008'de talebemin yardımı ile bir makale yazdım ama o da yayınlanmadı. Yani, TeX akademik hayatımda hiç etkili olmadı.
HTML ise 2004'de öğrenip uyguladığım bir dil. O zaman takdir ettim ama hayatıma 2018'de gerçekten girdi. O sırada üç yıldır GitHub kullanıyor ve öğretiyordum. MarkDown ile tanışmam da aynı döneme rastlıyor. Son beş yıldır bu iki teknolojiyi yakından takip ediyorum.
Hepsi bir araya gelince, Matemacik sayfalarını elden geçirmek ve gerçek bir kitap kalitesini sağlamak mümkün olacak, hemen başlıyorum. Şöyle bir değişim olacak:
 |
| Düz metin ve LaTeX -- çok fark var! |
Bir ay sonra
Matemacik sayfalarını TeX ile yazarken en önemli sorun "inline math" denilen metin içindeki formüller oldu. Standart yöntem olan "$...$" yaklaşımı, kullandığım MathJax içinde aktif değildi. Halbuki GitHub ve VS Code standarda uygun çalışıyordu. Bunun yöntemini 2016 tarihli bir makalede buldum -- demek 2017'de başlayan bu blog daha o zaman TeX ile yazılabilirmiş. Çevremde bunu bilen kimse olmadığı için 5 yıl gecikmeyle katıldım...
Ocak 2023 sonunda çözümü yayınladım ve son 6 yazıyı düzelttim. Eski sürümle kıyaslamak için web adresindeki tarihi "p" yapmak yeterli. Bir örnek:
https://matemacik.blogspot.com/2020/06/carpsan-toplar.html TeX
https://matemacik.blogspot.com/p/carpsan-toplar.html Düz metin
 |
| TeX öncesi ve sonrası aynı denklemler |
29.12.2022
Ardışık toplama
Erkan Türe Hocam bu bilmeceyi gönderdi, hemen kontrol edip baktım, toplama işlemleri doğru. "Ardında bir basitlik olmalı" dedim ve buldum.
Örnek olarak $\mathbf{n=3}$ alalım. Öyle $x$ sayısı arıyoruz ki
$ x+(x+1)+(x+2)+(x+3) = (x+4)+(x+5)+(x+6) $
olsun. Sağdaki her terim için solda $3$ eksiği var,
aranan değer $3$ kere $3$, yani $x=9$ bulunur.
O halde, $9+10+11+12 = 13+14+15$
Verilen $n$ değeri için genelleştirelim:
$ x+(x+1)+\ldots+(x+n) = (x+n+1)+\ldots+(x+n+n) $
olsun. Sadeleştirince sağda $n$ kere $n$, yani $x=n^2$ bulunur
Cevap:
Verilen $n$ sayısının karesinden başlayan $n+1$ ardışık sayının toplamı,
takip eden $n$ sayının toplamına eşittir.
Aşağıdaki şekil aynı cevaba geometri ile ulaşıyor:
 |
| Mavi çizgi toplam alanı iki eşit parçaya böler O halde mavi alanlar eşit olmalı |
2. soru: $n+1$ ardışık sayının kareleri toplamı, takip eden $n$ sayının kareleri toplamına eşit olsun.
Hesap kolaylığı açısından, ilk sayıya değil, tam ortadaki sayıya $x$ diyelim.
Örnek olarak $\mathbf{n=3}$ alalım. Öyle $x$ sayısı arıyoruz ki
$ (x−3)^2+(x−2)^2+(x−1)^2+x^2 = (x+1)^2+(x+2)^2+(x+3)^2 $
olsun. Kareli ve sabit terimleri sadeleştirince,
$ −6x−4x−2x+x^2 = 2x+4x+6x $
$x^2 = 4(1+2+3)x$ ve buradan $x = 24$ bulunur.
$21^2+22^2+23^2+\textbf{24}^2 = 25^2+26^2+27^2$
sonucuna hiç aritmetik yapmadan ulaştık!
Verilen $n$ değeri için genelleştirelim:
$(x-n)^2+\ldots+(x-1)^2+x^2 = (x+1)^2+\ldots+(x+n)^2$
olsun. Kareli ve sabit terimleri sadeleştirince,
olsun. Kareli ve sabit terimleri sadeleştirince,
$x^2 = 4(1+\ldots+n)x$ ve buradan $x = 2n(n+1)$ bulunur.
Cevap:
Aranan ardışık sayıların ilki $n(2n+1)$ olmalıdır.
(Yukarıdaki bilmecede bu formülü doğrulayın)
Peki, dizideki son sayı ne olur?
29.09.2020
Beşgen, Ongen, Euclid
Bir çember içine eşkenar üçgen, kare ve düzgün altıgen çizmeyi ilkokulda öğrenmiştik. Düzgün beşgen çizmek bunlara göre çok daha zordu, çünkü açı ölçmek için hassas bir yöntem bilmiyorduk. İletki kullanmanın zorluğunu o zaman anlamıştım... Meğer matematikçilerin kabul ettiği bir araç değilmiş iletki!
Yalnız cetvel ve pergel ile (açı ve uzunluk ölçmeden) düzgün beşgen çizmenin yolunu Euclid'in Elemanlar kitabında buluyoruz. Yöntemin modern bir yorumunu bu sabah gif dosyası olarak buldum, hemen aktarıyorum. (Kaynağı referanslarda)
Hareketli resim kendisini açıklıyor ama neden doğru olduğunu üç adımda, üç şekil üstünde anlatabilirim. Euclid bu resmi görseydi, kitabındaki Önerme IV:10'u hemen tanırdı. Çünkü bu işlemin her adımını, matematiksel bütünlük içinde 2300 yıl önce anlatmış.
1. A merkezli birim çemberin merkezine, kenarları 1:2 oranında bir dik üçgen çizelim.
BC uzunluğunu altın oran kullanarak yazalım:
$\sqrt5/2 = \varphi -1/2$
Çemberin iki yarıçapı eşittir: BC = BD
Şekildeki CD uzunluğu, düzgün beşgen probleminin geometrik çözümüdür. AD uzunluğu da $\varphi -1$, birim çember içindeki düzgün ongenin kenar uzunluğudur. (Neden?)
Problem sadece düzgün beşgeni çizmekten ibaret ise, ongenin köşelerini işaretledikten sonra birer atlayarak birleştirmek yeterli. Kenar uzunluğunu sayısal olarak bulmak için bir adım daha gerekiyor.
3. C merkezli, D'den geçen çemberi çizelim. Birim çemberle kesiştiği iki nokta, aradığımız düzgün beşgenin köşeleri olur. Kalan iki köşe yine aynı p değeri ile bulunur.
Peki neden CD uzunluğu düzgün beşgenin kenarına eşit? Cevabı yine Euclid versin:
İki üçgenin yaklaşık kenar uzunluklarını ve karelerini bir tablo halinde görelim:
uzunluk karesi
AB 0.500 0.250 1/4
AD 0.618 0.382 2−φ
BC 1.118 1.250 5/4
CD 1.176 1.382 3−φ
Önerme XIII:10
Bir eşkenar beşgen bir çember içine çizilirse, beşgenin kenarı üzerindeki kare, aynı çember içine çizilen altıgenin kenarı ile ongenin kenarı üzerindeki karelere eşittir.
Sayısal bir p değeri aranırsa, ACD dik üçgeninde
$p^2 = 1^2+(\varphi-1)^2 = 3-\varphi$ eşitliğinden hesaplanabilir.
Çember üstünde eşit aralıklı noktalar
Bir çember içine eşkenar üçgen, kare, düzgün beşgen, vb yerleştirme problemi, aslında çemberi $n (=3, 4, 5, ...)$ eşit parçaya bölmekten ibaret. Başka deyişle, birim çember üstünde eşit aralıklı $n$ nokta bulmak istiyoruz. Verilen her $n$ için çözüm var ve açı ölçerek kolayca bulunur.
Açı ölçmeye razı değilsek, yalnız cetvel ve pergel kısıtı ile, her $n$ için çözüm olmayabilir.
Küre üstünde eşit aralıklı noktalar
Üçüncü boyuta geçince durum farklı: Birim küre üstünde eşit aralıklı $n$ nokta aranıyorsa, sadece beş çözüm var: $n = 4, 6, 8, 12, 20$ olabilir. Platonik cisimler olarak bilinen beş düzgün çokyüzlü. Euclid Elemanlar'ın son kitabında bu çözümleri buluyor ve son önermesinde (XIII:18) hepsini yarım çember içinde göstererek muhteşem bir güzellik sergiliyor.
Şimdi de diyorum ki, yukarıda sözü edilen beş şekil dışında, birbirine eşit, eşkenar ve eşaçılı şekiller tarafından içerilen başka şekil [cisim] çizilemez.
Ödev
1. $(\varphi-1)^2 = 2-\varphi, \quad 3-\varphi = (5-\sqrt 5)/2$ eşitliklerini doğrulayın.
2. Kenarları $(1, 1, \varphi-1)$ olan üçgende neden taban açıları tepe açısının iki katıdır? Düzgün ongen yapmak için bu üçgenlerden kaç tane gerektiğini düşünerek, AD uzunluğunun ongenin kenarı olduğunu gösterin.
3. Şekildeki A noktasının DE doğru parçasını altın oranda böldüğünü gösterin.
4. Euclid düzgün beşgen için tutarlı olarak "eşkenarlı ve eşaçılı beşgen" ifadesini kullanır. Yukarıdaki önermede neden "eşaçılı" nitelemesine gerek duymamış?
Referanslar
Öklid'in Elemanları, Ali Sinan Sertöz, 2018
sertoz.bilkent.edu.tr/elemanlar.htm
Yazıya konu olan hareketli resim şurada:
en.wikipedia.org/wiki/Decagon
GIF için linkler: Aldoaldoz / CC BY-SA
Resmi parçalarına bölmek için link: ezgif.com/split
Beşgen sayfasındaki yöntemler çok daha karmaşık:
en.wikipedia.org/wiki/Pentagon
Altın Oran: /2017/07/altn-oran.html
23.09.2020
Üçgenin açıları
Bir üçgenin iç açıları toplamının 180° olduğunu küçük yaşta öğrendik ve öyle kabul ettik. Üçgen kendi boyumuz kadar olunca bu bilgi doğru ve faydalı. Lakin ülkeler boyunda bir üçgenin iç açıları toplamı 180 dereceden daha büyüktür. Mesela kuzey kutbundan başlayıp tam ekvatora kadar çeyrek tur gidelim. 90° dönüp aynı miktar ilerleyelim. Kuzeye dönerek üçgeni tamamlayalım. Kenar uzunluğu tam 10.000 km olan bir eşkenar üçgen tanımladık. Her açısı 90° olduğu için, iç açıları toplamı 270° olan bir üçgen bulduk:
"Ama bu üçgen düz değil, eğri!" diyorsanız, "düz" ne demek bir düşünelim. Elbette uzaydan bakabilsek eğri olduğunu anlarız, ama yeryüzüne bağlı olduğumuz sürece, bu düzgün bir üçgendir. Matematikçiler "küresel üçgen" diyerek bir ayrım yapmışlar. Yani iç açılar toplamı düzlemde basitçe 180° iken küre üstünde daha büyük olabilir. Acaba toplam açıyı bulan basit bir formülü var mı? (var elbette, olmasa bu yazıyı yazamazdım)Yay uzunluğu ve Radyan ölçüsü
Alan konusuna gelmeden önce, acaba eğrilerin uzunluğu nasıl ölçülür? En basit eğri, yarıçapı $r=1$ olan birim çember üstündeki yay:
Alıştığımız derece ölçüsü biraz keyfi. Neden tam açı 360° olsun? Çünkü bir yıldaki gün sayısına yakın ve küçük sayıların çoğuna tam bölünebilen bir sayı. Yıldızlar her gün yaklaşık bir derece hareket eder bu ölçü ile... İki ölçü arasındaki geçiş zor değil. Derece ölçüsünü $\pi$ ile çarpıp 180'e bölünce radyan ölçüsü bulunur:
$\large \alpha = \pi d/180$
Yarıçap $r=1$ değilse, bütün uzunluklar $r$ ile çarpılır ve yay uzunluğu şöyle bulunur:
$\alpha r = \pi rd/180.$ Formülde $d = 360^{\circ}$ iken çember uzunluğu $2\pi r$ olarak doğrulanır.
Özel bir hal olarak $\alpha = 2\pi$ alırsak, dilim bütün küreyi kaplar. Bu durumda alan $4\pi$ olduğuna göre, dilim alanı, açının radyan ölçüsünün iki katı $(2\alpha)$ olmalı.
Kürenin yarıçapı $r=1$ değilse bütün alanlar $r^2$ ile çarpılır. Derece kullanılırsa, yukarıdaki dönüşüm ile dilim alanını veren formüle ulaşırız:
$\large 2\alpha r^2 = \pi r^2 d/90$
Küresel üçgende iç açılar
Radyan ölçüsünü ve kürenin dilim alanını bilince, küresel üçgenin açılarını toplamaya bir adım kaldı. Birim küre üstünde herhangi bir T üçgenini düşünelim. Kırmızı, yeşil, mavi köşelerdeki iç açılar aynı sırayla α, β, γ olsun.
Üçgenin kenarlarını üç adet büyük çembere uzatalım. Üç çemberin üç çift dilim tanımladığı görülüyor: A+T, B+T, C+T. Bu dilimler kürenin ön ve arka tarafında aynen tekrar ediliyor. T üçgenin tekrarı ise, kürenin arkasında (görünmeyen) kırmızı, yeşil, mavi köşelerde gizli. Yani dört çeşit ügen (T, A, B, C) herbirinden iki adet var.
Şimdiye kadar üçgenlerin adı olan T, A, B, C harflerini, aynı üçgenlerin alanı için kullanırsak, her dilimin alanı şöyle bulunur:
$A+T = 2\alpha, B+T = 2\beta, C+T = 2\gamma$
Üç denklemi toplayınca:
$A+B+C+3T = 2(\alpha+\beta+\gamma)$
Öte yandan, yarım kürenin alanı:
$A+B+C+T = 2\pi$ olduğu için
$T = (\alpha+\beta+\gamma-\pi)$ bulunur.
Birim küre üstündeki üçgenin iç açıları toplamı $= \pi$ radyan (180°) + üçgenin alanı.
Eğilen uzay
Ödev
1. Son şekilde $A = (\alpha-\beta-\gamma+\pi)$ eşitliğini gösterin ve buradan $A+B+C+T = 2\pi$ denklemini doğrulayın
2. $T = (\alpha+\beta+\gamma-\pi)$ ifadesini derece ölçüsü ile, sağ tarafı $r^2$ ile çarparak yazın
3. Yerkürenin alanını 500 milyon km², Türkiye'nin alanını 800 bin km² alarak, ülkemiz boyunda bir üçgenin iç açıları toplamını tahmin edin (cevap 181° civarında)
Referans
Buraya kadar yazılanlar bin yıl önce gemicilerin kullandığı ve matematikçilerin iyi bildiği, küresel geometri. Yerkürenin şeklinden dolayı, büyük üçgenlerin iç açıları toplamı 180 dereceden fazla çıkıyor. Peki uzayda nasıl?
İzafiyet (relativity) teorisi, uzayın (göremediğimiz) bir boyutta eğildiğini söylüyor ve kütle çekiminin temeline geometriyi yerleştiriyor. Gezegenler ölçeğinde bakıldığında, ışığın yolunda gözlenen minik sapmalar bu şekilde açıklanıyor. Üç boyuttan dışarı çıkıp bakamadığımız için belki de gerçekliği hiçbir zaman bilinemeyen bir teori.
2. $T = (\alpha+\beta+\gamma-\pi)$ ifadesini derece ölçüsü ile, sağ tarafı $r^2$ ile çarparak yazın
3. Yerkürenin alanını 500 milyon km², Türkiye'nin alanını 800 bin km² alarak, ülkemiz boyunda bir üçgenin iç açıları toplamını tahmin edin (cevap 181° civarında)
Dik açılı eşkenar üçgen Britannica'dan:
Küresel dilim şekli Wolfram'dan:
Son şekli ve açıklamasını buradan basitleştirdim
Bu yazıyı kuzenim Halid Abay'a ithaf ediyorum.
Kaydol:
Kayıtlar (Atom)