Kesik Sekiz-yüzlü

Arşimet cisimleri içinde en ilginci "kesik sekiz-yüzlü" (Truncated Octahedron) olabilir.

Kesik sekiz-yüzlünün origami modeli

6 adet kare ile 8 adet düzgün altıgenden yapılan bu cisim, her köşesinde üç çokgen birleştiği için 4-6-6 olarak bilinir. 24 köşesini (0, ±b, ±2b) koordinatlarının permütasyonları olarak yazabiliriz. Kenar uzunluğunun 1 (bir) olması için 2b² = 1 olmalı. Köşelerin tamsayılı koordinatlarda olmasının iki sonucu var:
* Bu cismin kopyaları ile uzayı boşluksuz doldurabiliriz (Kübün benzeri)
* Köşegen uzunluklarının kareleri [2, 10] aralığında ardışık tamsayılardır

Köşegenler sayfasında bu ikinci sonucu lineer cebir yardımı ile kolayca kanıtlamıştık. Cebir bilmeyen Öklid ve çağdaşları aynı hesabı nasıl yapardı? Cismi, kare yüzeylerden birine paralel olarak tam ortasından kesince düzgün olmayan bir sekizgen çıkıyor:

Bu ikizkenar sekizgenin 4 kenarı altıgenlerin kenarı olduğu için 1 uzunluktadır. Diğer 4 kenar ise karelerin köşegeni olarak √2 uzunlukta. Şekilde görülen köşegen uzunlukları, sadece dik üçgenleri kullanarak, Pisagor zamanında bile hesaplanabilirdi. Kırmızı üçgenin hipotenüsü √5 ve kırmızı karenin köşegeni √10 olarak hemen bulunur. Bu köşegen aynı zamanda, 8 köşeden geçen çemberin çapıdır. Çapı gören çevre açılar 90° olduğundan, mavi üçgenler dik üçgendir ve şekilde gösterilen uzunluklar kolayca bulunur.

Böylece, üç boyutlu cismin 5 farklı köşegenini iki boyutlu sekizgen üstünde görmüş olduk: √2, √5, √8, √9 ve √10. Ya diğer tamsayılar? √3 ve √4 sayılarını altıgen yüzeylerin köşegeni olarak hemen tanıyoruz. √7 ve √6 ise, aynı köşegenler üstünde çapı gören dik üçgenlerin uzun kenarları...

Köşegen uzunlukları, aynı zamanda maksimum uzaklıkları da gösteriyor:
* iki altıgen yüzey arası √6
* iki kare yüzey arası √8
* iki kenar arası √9
* iki köşe arası √10


Origami

Kesik sekiz-yüzlünün kağttan modelini yapmak için çok sayıda origami yaklaşımı var. Daha önce başka bir konuda anlatılan altıgen modelini kullanarak sayfanın başında gösterilen cismi yapabiliriz.
https://eyler.blogspot.com/2010/12/duzgun-altgen.html

Kesik sekiz-yüzlüden önce, daha basit kardeşi kesik dört-yüzlüyü yapalım. Altıgen modelimizden iki adet gerekiyor:

Modellerin biri sağa biri sola bakıyor

Altıgen yaparken hiç fark etmiyordu, ama burada modellerin biri sağa biri sola bakmalı, yoksa dört yüz birbiri üstüne kapanmaz. Kapatırken, yarım altıgenlerin bütün altıgenlerin içinde kalmasına dikkat edelim.

Altıgen ve kesik dört-yüzlü

Altıgen yaparken tek parça yeterli iken, kesik dört-yüzlü için iki, konumuz olan kesik sekizyüzlü için dört parça gerekiyor. Modellerin hepsi aynı yöne baksa da olur, sola ve sağa ikişer adet baksa da olur. (Üçü bir yana, dördüncü diğer yana bakarsa model kapanmaz.)

Kesik sekiz-yüzlü için 4 parça lazım

Kesik sekiz-yüzlüyü kapatmak için aynı yöne bakan iki parça yapışkan bant ile sabitlenirse, diğer iki parçayı eklemek daha kolay olacaktır. Aynı cismin hem çubuk hem de kağıt modeline sahip olunca, yukarıda anlatılan özellikler açıkça görülür.

Çubuk modeli içinde origami örneği

Ödev:

1. Şekildeki ikizkenar sekizgenin köşe koordinatlarını ve köşegen uzunluklarını cebirsel olarak bulun. (ipucu: z = 0 düzleminde çalışın)

2. Kare yüzeylerin denklemlerini bulun ve karşılıklı iki kare arasındaki uzaklığın √8 olduğunu gösterin.

3. Altıgen yüzeylerin denklemlerinin ±x±y±z = 3b olduğunu ve karşılıklı iki altıgen arasındaki uzaklığın √6 olduğunu gösterin. (ipucu: iki yüzeyin orta noktalarını bulun)