 |
| https://tr.pinterest.com/pin/436286282625753185/ |
Bu üçgeni kağıttan katlamanın birkaç yolunu okumuştum. Bu sabah gördüğüm çok basit bir yöntem (Kazuo Haga) hepsinden daha kolay. Kare kağıdın A köşesini üst kenarın orta noktasına getirip katlayınca üç adet 3-4-5 üçgeni elde edilir: (daha güzel bir yöntem yazının sonunda)
Kenar uzunluğunu 1 (bir) alarak yukarıda gösterilen uzunluklar kolayca hesaplanır. Yan ürün olarak, alt kenarı altıda bir ve sağ kenarı üçte bir oranında (C noktasında) bölmüş oluruz.
Genel Formül
Bir problemi çözen matematikçi asla o sonuçla yetinmez. Çözümü daha kısa, daha güzel ve daha genel yapmaya uğraşır. Bu problem, A köşesini üst kenarın ortasına değil, herhangi bir yerine getirmek şeklinde genellenebilir:
A köşesini sol üst köşeden b uzaklığına getirip katlayınca, şekilde görülen x ve y değerleri nasıl hesaplanır? Yani, katlama sonunda sol ve sağ kenarlarda ortaya çıkan B ve C noktalarının alt kenara uzaklığını bulmak istiyoruz. Şekildeki en önemli ayrıntı, katlamanın gereği olarak AB = $x$ uzunluğunun sol tarafta iki kere çizilmiş olması. (Sağdaki üçgende aynı özellik geçerli değil)
Soldaki dik üçgende $(1-x)^2 + b^2 = x^2$ eşitliğini kullanarak
hipotenüs $x = (1+b^2)/2$ ve
dik kenar $1-x = (1-b^2)/2$ bulunur.
Soldaki ve sağdaki üçgenlerin benzerliğini dik kenarlara uygularsak,
$$ \frac {b}{1-y} = \frac {1-x}{1-b} = \frac {1+b}2 $$
ve buradan $y = \frac {1-b}{1+b}$ sonucuna ulaşırız.
Özel halde, $b=1/2$ verildiğinde $y=1/3$ bulunur.
Çözüm: $f(b) = (1−b)/(1+b)$ fonksiyonun $0<b<1$ aralığındaki grafiği aşağıda
 |
| f(b) fonksiyonu |
Pisagor Üçlüleri
Tanım: $a^2 + b^2 = c^2$ denklemini sağlayan tamsayılar
Konu başlığındaki 3-4-5 üçgeni ne oldu? Açılar değiştiği için her $b$ değeri farklı bir dik üçgen verir. Üstelik $b$ rasyonel bir sayı ise, hesaplanan değerler de rasyonel olacağından, ortak payda ile çarpıldığında bütün kenarlar tamsayı olur ve tanım gereği Pisagor üçlüleri elde edilir. Verilen $b$ sayısından $x$ ve $y$ değerlerini kesir olarak hesaplayan şu sayfanın ürettiği birkaç örneği aşağıda ekledim. Pisagor üçlülerinin ne kadar çok olduğunu bu sayfada görebilirsiniz.
 |
| b değerinden hesaplanan x, y ve Pisagor üçlüsü |
Verilen bir Pisagor üçlüsünden de rasyonel $b$ ve $y$ değerleri kolayca bulunur.
Yine Euclid!
Bu tablodaki kesirlerin basitliğini merak ettim. Küçük tamsayılarla yapılan kesirlerin sonucunda, formüller çok basit olmadığı halde, yine küçük tamsayılar çıkıyor, acaba neden?
Konuyu araştırınca, az bilinen başka bir Euclid formülü çıktı.
$b = n/m \quad (m>n>0)$ rasyonel sayısı ile başlarsak, soldaki üçgenin kenarları şöyle çıkıyor:
$b = 2mn/p, 1-x = (m^2-n^2)/p, x = (m^2+n^2)/p$
(ortak payda $p = 2m^2$) ve $y = (m-n)/(m+n)$
Paydalar eşitlendiği için, üç kesrin payları aranan üçlüyü verir:
$(2mn, m^2-n^2, m^2+n^2) \Rightarrow $ $(2mn)^2 + (m^2-n^2)^2 = (m^2+n^2)^2$
Bu şekilde bulunan sayıların Pisagor üçlüsü olduğunu göstermiş olduk. Fazlası, bütün Pisagor üçlülerinin Euclid formülüne uyduğu aşağıdaki linkte [4] kanıtlanmış.
It is a fascinating thought that this chapter could have been written while Euclid was looking over my shoulder.
"Bu bölüm, Euclid omuzumun üstüden izlerken yazılabilirdi" düşüncesi büyüleyici...
E W Dijkstra (1976), A Discipline of Programming, Prentice-Hall, p. 6
Aynen öyle, bu bölüm (notasyon ve yazılım hariç) 2300 sene önce yazılabilirdi...
Ödev
1. Hipotenüsü AB olan dik üçgende, Pisagor teoremini kullanarak AB uzunluğunu bulun
2. C köşesindeki küçük üçgenin 3-4-5 oranında olduğunu sayılarla doğrulayın
3. BC uzunluğunu hesaplayın ve ABC üçgeninin de diğerlerine benzer olduğunu gösterin
4. $f(b)$ fonksiyonunun tersinin kendisi olduğunu gösterin ve $f(x) = x$ denklemini sağlayan sabit noktasını bulun
5. Yukarıda görülmeyen $(9, 40, 41)$ Pisagor üçlüsü için iki adet $b$ değeri bulun (neden iki?)
Referans
1. Kare kağıdı üç eşit parçaya bölmek
2. Aynı konu, İngilizce
3. Yazının konusu olan 3-4-5 üçgeni hakkında
4. Pisagor üçlüsü, tanımı ve özellikleri
5. f(b) değerini kesir olarak hesaplayan JS sayfamız
Daha basit bir yöntem (Eylul 2021)
3-4-5 üçgenini 4x4 kareden elde etmek için iki kere katlamak yeterli:
 |
| Matematikte "en iyiyi buldum" diyemezsiniz! |
