Erkan Türe Hocam bu bilmeceyi gönderdi, hemen kontrol edip baktım, toplama işlemleri doğru. "Ardında bir basitlik olmalı" dedim ve buldum.
Örnek olarak $\mathbf{n=3}$ alalım. Öyle $x$ sayısı arıyoruz ki
$ x+(x+1)+(x+2)+(x+3) = (x+4)+(x+5)+(x+6) $
olsun. Sağdaki her terim için solda $3$ eksiği var,
aranan değer $3$ kere $3$, yani $x=9$ bulunur.
O halde, $9+10+11+12 = 13+14+15$
Verilen $n$ değeri için genelleştirelim:
$ x+(x+1)+\ldots+(x+n) = (x+n+1)+\ldots+(x+n+n) $
olsun. Sadeleştirince sağda $n$ kere $n$, yani $x=n^2$ bulunur
Cevap:
Verilen $n$ sayısının karesinden başlayan $n+1$ ardışık sayının toplamı,
takip eden $n$ sayının toplamına eşittir.
Aşağıdaki şekil aynı cevaba geometri ile ulaşıyor:
 |
| Mavi çizgi toplam alanı iki eşit parçaya böler O halde mavi alanlar eşit olmalı |
2. soru: $n+1$ ardışık sayının kareleri toplamı, takip eden $n$ sayının kareleri toplamına eşit olsun.
Hesap kolaylığı açısından, ilk sayıya değil, tam ortadaki sayıya $x$ diyelim.
Örnek olarak $\mathbf{n=3}$ alalım. Öyle $x$ sayısı arıyoruz ki
$ (x−3)^2+(x−2)^2+(x−1)^2+x^2 = (x+1)^2+(x+2)^2+(x+3)^2 $
olsun. Kareli ve sabit terimleri sadeleştirince,
$ −6x−4x−2x+x^2 = 2x+4x+6x $
$x^2 = 4(1+2+3)x$ ve buradan $x = 24$ bulunur.
$21^2+22^2+23^2+\textbf{24}^2 = 25^2+26^2+27^2$
sonucuna hiç aritmetik yapmadan ulaştık!
Verilen $n$ değeri için genelleştirelim:
$(x-n)^2+\ldots+(x-1)^2+x^2 = (x+1)^2+\ldots+(x+n)^2$
olsun. Kareli ve sabit terimleri sadeleştirince,
olsun. Kareli ve sabit terimleri sadeleştirince,
$x^2 = 4(1+\ldots+n)x$ ve buradan $x = 2n(n+1)$ bulunur.
Cevap:
Aranan ardışık sayıların ilki $n(2n+1)$ olmalıdır.
(Yukarıdaki bilmecede bu formülü doğrulayın)
Peki, dizideki son sayı ne olur?
