Ardışık toplama

Erkan Türe Hocam bu bilmeceyi gönderdi, hemen kontrol edip baktım, toplama işlemleri doğru. "Ardında bir basitlik olmalı" dedim ve buldum.

1. soru: $n+1$ ardışık sayının toplamı, takip eden $n$ sayının toplamına eşit olsun.

Örnek olarak $\mathbf{n}\mathbf{=}\mathbf{3}$ alalım. Öyle $x$ sayısı arıyoruz ki

$x+(x+1)+(x+2)+(x+3)=(x+4)+(x+5)+(x+6)$

olsun. Sağdaki her terim için solda $3$ eksiği var,

aranan değer $3$ kere $3$, yani $x=9$ bulunur.

O halde, $9+10+11+12=13+14+15$

Verilen $n$ değeri için genelleştirelim:

$x+(x+1)+\dots +(x+n)=(x+n+1)+\dots +(x+n+n)$

olsun. Sadeleştirince sağda $n$ kere $n$, yani $x=n^2$ bulunur

Cevap:

Verilen $n$ sayısının karesinden başlayan $n+1$ ardışık sayının toplamı,

takip eden $n$ sayının toplamına eşittir. 

Aşağıdaki şekil aynı cevaba geometri ile ulaşıyor:

Mavi çizgi toplam alanı iki eşit parçaya böler
O halde mavi alanlar eşit olmalı

2. soru: $n+1$ ardışık sayının kareleri toplamı, takip eden $n$ sayının kareleri toplamına eşit olsun.

Hesap kolaylığı açısından, ilk sayıya değil, tam ortadaki sayıya $x$ diyelim.

Örnek olarak $\mathbf{n}\mathbf{=}\mathbf{3}$ alalım. Öyle $x$ sayısı arıyoruz ki
$(x-3{)}^2+(x-2{)}^2+(x-1{)}^2+x^2=(x+1{)}^2+(x+2{)}^2+(x+3{)}^2$
olsun. Kareli ve sabit terimleri sadeleştirince,
$-6x-4x-2x+x^2=2x+4x+6x$
$x^2=4(1+2+3)x$ ve buradan $x=24$ bulunur.

${21}^2+{22}^2+{23}^2+{\mathbf{\text{24}}}^2={25}^2+{26}^2+{27}^2$

sonucuna hiç aritmetik yapmadan ulaştık!

Verilen $n$ değeri için genelleştirelim:

$(x-n{)}^2+\dots +(x-1{)}^2+x^2=(x+1{)}^2+\dots +(x+n{)}^2$
olsun. Kareli ve sabit terimleri sadeleştirince,

$x^2=4(1+\dots +n)x$ ve buradan $x=2n(n+1)$ bulunur.

Cevap:
Aranan ardışık sayıların ilki $n(2n+1)$ olmalıdır.
(Yukarıdaki bilmecede bu formülü doğrulayın)
Peki, dizideki son sayı ne olur?