Lineer Denklemler

Lineer Cebir gözlüğü ile denklem sistemlerine bakınca, karşımıza üç soru çıkıyor:

1. Ah = 0 denklem sisteminin genel çözümü nedir?

2. A'nın satırlarından elde edilen alt-uzay nedir?

3. A'nın sütunları arasında nasıl bir ilişki vardır?

Denklem sayısı (m) ile bilinmeyen sayısı (n) eşit olduğunda, katsayılar matrisi tekil (singular) değilse tek çözüm vardır.  Bu durumda Ax = b denklem sistemi, matrisin tersini alarak çözülür. Denklem sayısı büyükse matrisin tersini hesaplamak zahmetli olabilir, yine de tek çözüm vardır ve başka yöntemlerle kolayca hesaplanabilir. Çözüm tek olduğu için, bu durumda söylenecek başka bir söz kalmıyor, yukarıdaki soruların cevapları hiç ilginç değil:

1. Ah = 0 denklem sisteminin tek çözümü var:  h = 0

2. A'nın satırları bağımsız olduğu için, satırlar bir baz oluşturur

3. A'nın sütunları bağımsız olduğu için, aralarında bir ilişki yok

Öte yandan, m<n ise sistemin sonsuz çözümü olabilir ve yukarıdaki soruların cevabını indirgenmiş matristen bulabiliriz. Üç bilinmeyenli iki denklem ile başlayalım (m=2, n=3) :

1x + 2y + 2z = 0
2x + 5y + 3z = 0

Bu sistemde denklem sayısı yeterli değil, sonsuz çözüm olmalı. Verilen değerleri bir A matrisine kaydedelim ve standart satır işlemleri kullanarak R matrisine indirgeyelim. "Tek çözüm" durumunda söz konusu olmayan bazı bilgilere bu matristen erişeceğiz.

(Bu sayfadaki örnekleri çözmek için yazılım gerekmiyor ama çözümü hızlandırdığı için kullanmayı tavsiye ediyorum. Buradaki bütün örnekleri Solver menüsünde bulacaksınız. "Solve" butonuna basmak yeterli olmuyorsa, manuel satır işlemleri ile sonuca ulaşılır.)

Bu tablodaki sayılar ile genel çözüme ulaştık:

x + 4z = 0
y −  z = 0

R matrisinde okunan 4 ve −1 değerleri, üç farklı uzayı tanımlıyor ve yukarıda verilen soruları cevaplıyor:

Öncelikle, iki pivot olduğu için rank(A) = 2

1. Sıfır uzayı (Null space): verilen Ah = 0 denklem sisteminin genel çözümü.
Baz:  h = (−4, 1, 1)

Pivot değişkenler x=−4z ve y=z olduğundan, çözüm h vektörünün katlarıdır. Pivot değişkenleri serbest z değişkeni cinsinden ifade edince, üç boyutlu uzayın tek boyutlu bir alt uzayı, zh doğrusu bulunur.

2. Satır uzayı (Row space): A'nın satırlarından elde edilen bütün denklemler.
Baz:  R1 = (1, 0, 4), R2 = (0, 1, −1)

Mesela, orijinal sistemdeki satırlar şöyle hesaplanır:

1 R1 + 2 R2 = (1, 2, 2)
2 R1 + 5 R2 = (2, 5, 3)

Satır uzayı bu iki vektörün tanımladığı

z = 4x−y düzlemidir. (neden?)

Bu düzlemin ve baz vektörlerinin, h vektörüne dik olduğuna dikkat! (neden?)

3. Satır uzayı iki boyutlu olduğundan, Sütun uzayı da öyle olmalı. Demek ki iki sütun yeterli, serbest değişkene karşı gelen C3, diğer iki sütun cinsinden yazılabilir. A ve R matrislerinin her satırı için z = 4x−y olduğuna göre, aynı ifade sütunlar için de geçerli:

C3 = 4C1 − C2

Cevapların içinde, R matrisinde okunan değerler açıkça yer alıyor.

Özet: R matrisindeki 4 ve −1 değerlerini kullanarak ulaştığımız sonuçlar:

* Sıfır uzayı (x=−4z ve y=z) için baz:  

h = (−4, 1, 1) 

iki düzlemin kesiştiği vektör

* Satır uzayı (z = 4x−y) için baz: 

R1 = (1, 0, 4),  R2 = (0, 1, −1) 

düzlemi belirleyen iki vektör

* Sütunlar arasındaki ilişki:

C3 = 4C1 − C2

aynı düzlemin denklemi

Sonraki örnekte satır ve sütun toplamları sıfır olan 4x4 bir matris verilmiş:

R matrisinde okunan 1, 2, −2, −3 değerleri alt-uzayları tanımlıyor. Bu örnekte m = n = 4 ve rank(A) = 2 olduğundan bütün bazlarda ikişer vektör olmalı.

* Sıfır uzayı için baz:

h1 = (−1, −2, 1, 0),  h2 = (2, 3, 0, 1) 

* Satır uzayı için baz:

R1 = (1, 0, 1, −2),  R2 = (0, 1, 2, −3) 

A'nın ilk satırı:  −8R1 + 7R2 = (−8, 7, 6, −5)

* Sütunlar arasındaki ilişki:

C3 = C1 + 2C2,  C4 = −2C1 − 3C2

Ödev

1. Aşağıdaki örneklerde bir değişken daha eklenmiş. Alt-uzay bazlarını bulun ve sütunlar arasındaki ilişkiyi sağlayın. [Fakıoğlu s.121, s.123]

* Pivot sayısı 3 olduğu için rank(A) = 3

* Sütunlar arasındaki ilişki:

C2 = −2C1,  C5 = 2C1 − C3 + 3C4

2. Yukarıdaki matriste işaretli 3 değerini 4 yaptıktan sonra elde edilen sistemi çözün.
ipucu: rank(A) = 4, yani 4 adet pivot olmalı.

* Sütunlar arasındaki ilişki:

C2 + C3 + C5 = 3C4

3. Aynı kısımda son örneğe bakalım:  [Fakıoğlu s.124]

* Sütunlar arasındaki ilişki: (Kitaptaki cevap hatalı)

C3 = 2C1 − C2 ,  C5 = − C1 + 3C2 + 2C4

Referans

1. Gilbert Strang, Introduction to Linear Algebra 5th Edition (2016) -- Section 3.5

2. Seyfettin Fakıoğlu, Linear Algebra, FSM Vakıf University (2015) -- Kısım 3.5

3. M Akif Eyler, Solver (2019) -- Lineer denklemler için yazılım desteği