İki boyutlu şekillerle başlayalım. Köşegen uzunluğu d olsun:
- Üçgen: köşegen yok
- Dörtgen (Kare): d²=2
- Beşgen: d²=φ+1 (altın oranın karesi)
- Altıgen: iki çeşit köşegeni var, d²=3, d²=4
- Sekizgen: üç çeşit köşegen
- Dört-yüzlü (tetrahedron): köşegen yok
- Sekiz-yüzlü (octahedron): d²=2
- Yirmi-yüzlü: iki çeşit, d²=φ+1, d²=φ+2
- Küb: iki çeşit, d²=2, d²=3
- Oniki-yüzlü: dört çeşit köşegen
 |
| Kübün içinde altıgen |
Küboktahedron
Aslında, kübün içinde bir değil, tam 4 adet altıgen gizli. Bu altıgenlerden yapılan cisim üstünde biraz uğraşmaya değer, çünkü üç çeşit köşegeni var.
 |
| Kübün içinde dört altıgen |
Kıyas için seçilen u = (0, b, b) köşesinin diğer köşelere uzaklığını d² = |u−v|² formülünden kolayca hesaplayabiliriz:
Köşe v u−v d² u=(0, b, b) (0, 0, 0) 0 v1=(b, 0, b) (−b,b, 0) 2b²=1 v2=(0, b,−b) (0, 0,2b) 4b²=2 v3=(b, 0,−b) (−b,b,2b) 6b²=3 v4=(0,−b,−b) (0,2b,2b) 8b²=4
Kenar uzunluğunu 1 yapmak için b² = 1/2 almak zorundayız. Böylece köşegen uzunluklarının kareleri, (dörtgen ve altıgende olduğu gibi) yine tam sayılar çıkıyor: 2, 3, 4.
Söz konusu geometri olunca, uzunlukla birlikte açıları da ölçmek gerekir. Köşe noktalarının bir küre üstünde olduğunu biliyoruz, çünkü her v için |v| = 2b² = 1. Buradan u ile v arasındaki açı cos θ = <u,v> olarak hesaplanır:
Köşe v <u,v> Açı u=(0, b, b) 2b²=1 0 v1=(b, 0, b) b²=1/2 60° v2=(0, b,−b) 0 90° v3=(b, 0,−b) −b²=−1/2 120° v4=(0,−b,−b) −2b²=−1 180°
Uzaklığın karesi ile cos θ arasındaki ilişki doğrusal olmalı:
d² = |u|² + |v|² − 2<u,v> = 2|u|²(1−cos θ)
Yazılım
Oktahedral simetri sahibi bazı cisimlerin köşegen uzunluğunu hesaplayan yazılımın ürettiği tablo aşağıda. Mesela Küb için verilen sayıların anlamı şöyle: Bir v köşesi seçelim. Bu köşeye 0 uzaklıkta sadece 1 köşe var (v). Birim (1) uzaklıkta 3 köşe komşu kenarlarla belirleniyor. Ayrıca √2 uzunlukta 3 adet ve √3 uzunlukta 1 adet köşegen var.
Kesik oktahedron (sekiz-yüzlü)
Dörtgenler ve altıgenlerden yapılan daha karmaşık bir cisim sırada: tam dokuz çeşit köşegeni var, üstelik uzunluklarının kareleri [2, 10] aralığında ardışık tamsayılar.
 |
| Kesik sekiz-yüzlü |
Köşe v u−v d² u=(0, b, 2b) (0, 0, 0) 0 v1=(b, 0, 2b) (−b, b, 0) 2b²=1 v2=(0,−b, 2b) (0, 2b, 0) 4b²=2 v3=(2b, 0, b) (−2b,b, b) 6b²=3 v4=(2b, b, 0) (−2b,0,2b) 8b²=4 v5=(0, 2b,−b) (0, −b,3b) 10b²=5 v6 = −v4 (2b,2b,2b) 12b²=6 v7 = −v3 (2b, 0,3b) 14b²=7 v8 = −v2 (0, 0, 4b) 16b²=8 v9 = −v1 (b, b, 4b) 18b²=9 v10 = −u (0,2b, 4b) 20b²=10
Küboktahedron için yapılan hesap burada da geçerli. Kenar uzunluğunun 1 olması için yine b² = 1/2 almak zorundayız. Tek fark, kürenin yarıçapı burada 1'den büyük:
|u|² = 5b² = 5/2, yani |u| ≈ 1.581
Açı hesabı da aynı şekilde yapılır:
d² = 2|u|²(1−cos θ) = 5(1−cos θ)
Mesela u ile v2 arasındaki açı, 3-4-5 dik üçgeninin büyük dar açısına eşit:
cos θ = <u,v>/(|u||v|) = 3b²/5b² = 0.6, yani θ≈53.1°
 |
| Kesik sekiz-yüzlü -- çubuk modeli |
Ödev
1. Altıgen ve sekizgenin köşegen uzunluklarını hesaplayın
2. Küboktahedronun diğer 7 köşesi için uzunlukları hesaplayın
3. Kesik oktahedron için diğer açıları hesaplayın
Referans
Kesik oktahedronu anlatan sayfalar:
https://www.wikiwand.com/en/Truncated_octahedron
https://paulscottinfo.ipage.com/polyhedra/semiregular/trunc-octah.html
https://paulscottinfo.ipage.com/polyhedra/semiregular/trunc-octah.html
Köşegen uzunluklarını hesaplayan yazılım:
