Ardışık toplama

Erkan Türe Hocam bu bilmeceyi gönderdi, hemen kontrol edip baktım, toplama işlemleri doğru. "Ardında bir basitlik olmalı" dedim ve buldum.

1. soru: (n+1) ardışık sayının toplamı, takip eden n sayının toplamına eşit olsun.

Örnek olarak n=3 alalım. Öyle x sayısı arıyoruz ki

x+(x+1)+(x+2)+(x+3) = (x+4)+(x+5)+(x+6) olsun.

Sağdaki her terim için solda 3 eksiği var,
aranan değer 3 kere 3, yani x=9 bulunur.

O halde, 9+10+11+12 = 13+14+15

Verilen n değeri için genelleştirelim:

x+(x+1)+...+(x+n) = (x+n+1)+...+(x+n+n) olsun.

Sadeleştirince sağda n kere n, yani x=n² bulunur

Cevap:
Verilen n sayısının karesinden başlayan (n+1) ardışık sayının toplamı,
takip eden n sayının toplamına eşittir. 

Aşağıdaki şekil aynı cevaba geometri ile ulaşıyor:

Mavi çizgi toplam alanı iki eşit parçaya böler
O halde mavi alanlar eşit olmalı

2. soru: (n+1) ardışık sayının kareleri toplamı, takip eden n sayının kareleri toplamına eşit olsun.

Hesap kolaylığı açısından, ilk sayıya değil, tam ortadaki sayıya x diyelim.

Örnek olarak n=3 alalım. Öyle x sayısı arıyoruz ki

(x−3)²+(x−2)²+(x−1)²+x² = (x+1)²+(x+2)²+(x+3)² olsun.
Kareli ve sabit terimleri sadeleştirince,

−6x−4x−2x+x² = 2x+4x+6x

x² = 4(1+2+3)x ve buradan x = 24 bulunur.

Yani 21²+22²+23²+24² = 25²+26²+27² olmalı.
Neredeyse hiç aritmetik yapmadan cevabı bulduk!

Verilen n değeri için genelleştirelim:
(x−n)²+...+(x−1)²+x² = (x+1)²+...+(x+n)² olsun.
Kareli ve sabit terimleri sadeleştirince,
x² = 4(1+...+n)x ve buradan x = 2n(n+1) bulunur.

Cevap:
Aranan ardışık sayıların ilki n(2n+1) olmalıdır.
(Yukarıdaki ilk şekilde bu formülü doğrulayın)
Peki, dizideki son sayı ne olur?