Köşegenler

Lineer cebir konularının bir uygulaması olarak, bazı düzgün şekillerin köşegen uzunluklarını hesaplayalım. Konumuz sadece düzgün ve yarı-düzgün şekiller olduğu için, incelenen her şeklin kenar uzunluğu 1 (bir), köşe açıları da eşit olmalı.

İki boyutlu şekillerle başlayalım. Köşegen uzunluğu d olsun:

• Üçgen: köşegen yok
• Dörtgen (Kare): d²=2
• Beşgen: d²=φ+1 (altın oranın karesi)
• Altıgen: iki çeşit köşegeni var, d²=3, d²=4
• Sekizgen: üç çeşit köşegen

Yedigen tabiatta görünen bir şekil olmadığı için ilginç değil. Sekizgenin hesabını okuyucuya bırakıp üç boyutlu düzgün cisimlere geçelim.

• Dört-yüzlü (tetrahedron): köşegen yok
• Sekiz-yüzlü (octahedron): d²=2
• Yirmi-yüzlü: iki çeşit, d²=φ+1, d²=φ+2
• Küb: iki çeşit, d²=2, d²=3
• Oniki-yüzlü: dört çeşit köşegen

Sekiz-yüzlü ve kübün köşegenleri için d²=2 çıkması doğal, çünkü her iki cisim de karelerden yapılmış. Peki neden d²=3? Demek kübün içinde bir altıgen gizli:

Kübün içinde altıgen

Küboktahedron

Aslında, kübün içinde bir değil, tam 4 adet altıgen gizli. Bu altıgenlerden yapılan cisim üstünde biraz uğraşmaya değer, çünkü üç çeşit köşegeni var.

Kübün içinde dört altıgen

Kübün kenar ortaları bu cismin köşeleri olduğuna göre, her köşe (0, ±b, ±b) koordinatlarının permütasyonları olmalı. Yani 12 adet köşe noktası var.

Kıyas için seçilen u = (0, b, b) köşesinin diğer köşelere uzaklığını d² = |u−v|² formülünden kolayca hesaplayabiliriz:

  Köşe v         u−v       d²
 u=(0, b, b)  (0, 0, 0)     0
v1=(b, 0, b)  (−b,b, 0)  2b²=1
v2=(0, b,−b)  (0, 0,2b)  4b²=2
v3=(b, 0,−b)  (−b,b,2b)  6b²=3
v4=(0,−b,−b)  (0,2b,2b)  8b²=4

Kenar uzunluğunu 1 yapmak için b² = 1/2 almak zorundayız. Böylece köşegen uzunluklarının kareleri, (dörtgen ve altıgende olduğu gibi) yine tam sayılar çıkıyor: 2, 3, 4.

Söz konusu geometri olunca, uzunlukla birlikte açıları da ölçmek gerekir. Köşe noktalarının bir küre üstünde olduğunu biliyoruz, çünkü her v için |v| = 2b² = 1. Buradan u ile v arasındaki açı cos θ = <u,v> olarak hesaplanır:

  Köşe v       <u,v>    Açı
 u=(0, b, b)  2b²=1       0
v1=(b, 0, b)   b²=1/2    60°
v2=(0, b,−b)     0       90°
v3=(b, 0,−b)  −b²=−1/2  120°
v4=(0,−b,−b) −2b²=−1    180°

Uzaklığın karesi ile cos θ arasındaki ilişki doğrusal olmalı:
d² = |u|² + |v|² − 2<u,v> = 2|u|²(1−cos θ)


Yazılım

Oktahedral simetri sahibi bazı cisimlerin köşegen uzunluğunu hesaplayan yazılımın ürettiği tablo aşağıda. Mesela Küb için verilen sayıların anlamı şöyle: Bir v köşesi seçelim. Bu köşeye 0 uzaklıkta sadece 1 köşe var (v). Birim (1) uzaklıkta 3 köşe komşu kenarlarla belirleniyor. Ayrıca √2 uzunlukta 3 adet ve √3 uzunlukta 1 adet köşegen var.

https://maeyler.github.io/JS/math/Octahedral.html


Kesik oktahedron (sekiz-yüzlü)

Dörtgenler ve altıgenlerden yapılan daha karmaşık bir cisim sırada: tam dokuz çeşit köşegeni var, üstelik uzunluklarının kareleri [2, 10] aralığında ardışık tamsayılar.

Kesik sekiz-yüzlü

Oktahedronun köşelerinin düzgün kesilmesi ile yapılan bu cismin köşeleri (0, ±b, ±2b) koordinatlarının permütasyonları. Yani 24 adet köşe noktası var.

  Köşe v           u−v        d²
 u=(0, b, 2b)  (0,  0, 0)      0
v1=(b, 0, 2b)  (−b, b, 0)   2b²=1
v2=(0,−b, 2b)  (0, 2b, 0)   4b²=2
v3=(2b, 0, b)  (−2b,b, b)   6b²=3
v4=(2b, b, 0)  (−2b,0,2b)   8b²=4
v5=(0, 2b,−b)  (0, −b,3b)  10b²=5
v6 = −v4       (2b,2b,2b)  12b²=6
v7 = −v3       (2b, 0,3b)  14b²=7
v8 = −v2       (0, 0, 4b)  16b²=8
v9 = −v1       (b, b, 4b)  18b²=9
v10 = −u       (0,2b, 4b)  20b²=10

Küboktahedron için yapılan hesap burada da geçerli. Kenar uzunluğunun 1 olması için yine b² = 1/2 almak zorundayız. Tek fark, kürenin yarıçapı burada 1'den büyük:
|u|² = 5b² = 5/2, yani |u| ≈ 1.581

Açı hesabı da aynı şekilde yapılır:
d² = 2|u|²(1−cos θ) = 5(1−cos θ)

Mesela u ile v2 arasındaki açı, 3-4-5 dik üçgeninin büyük dar açısına eşit:
cos θ = <u,v>/(|u||v|) = 3b²/5b² = 0.6, yani θ≈53.1°

Kesik sekiz-yüzlü -- çubuk modeli

Ödev

1. Altıgen ve sekizgenin köşegen uzunluklarını hesaplayın

2. Küboktahedronun diğer 7 köşesi için uzunlukları hesaplayın

3. Kesik oktahedron için diğer açıları hesaplayın


Referans

Kesik oktahedronu anlatan sayfalar:

https://www.wikiwand.com/en/Truncated_octahedron
https://paulscottinfo.ipage.com/polyhedra/semiregular/trunc-octah.html

Köşegen uzunluklarını hesaplayan yazılım:

https://maeyler.github.io/JS/math/Octahedral.html

Kesik Sekiz-yüzlü

Arşimet cisimleri içinde en ilginci "kesik sekiz-yüzlü" (Truncated Octahedron) olabilir.

Kesik sekiz-yüzlünün origami modeli

6 adet kare ile 8 adet düzgün altıgenden yapılan bu cisim, her köşesinde üç çokgen birleştiği için 4-6-6 olarak bilinir. 24 köşesini (0, ±b, ±2b) koordinatlarının permütasyonları olarak yazabiliriz. Kenar uzunluğunun 1 (bir) olması için 2b² = 1 olmalı. Köşelerin tamsayılı koordinatlarda olmasının iki sonucu var:
* Bu cismin kopyaları ile uzayı boşluksuz doldurabiliriz (Kübün benzeri)
* Köşegen uzunluklarının kareleri [2, 10] aralığında ardışık tamsayılardır

Köşegenler sayfasında bu ikinci sonucu lineer cebir yardımı ile kolayca kanıtlamıştık. Cebir bilmeyen Öklid ve çağdaşları aynı hesabı nasıl yapardı? Cismi, kare yüzeylerden birine paralel olarak tam ortasından kesince düzgün olmayan bir sekizgen çıkıyor:

Bu ikizkenar sekizgenin 4 kenarı altıgenlerin kenarı olduğu için 1 uzunluktadır. Diğer 4 kenar ise karelerin köşegeni olarak √2 uzunlukta. Şekilde görülen köşegen uzunlukları, sadece dik üçgenleri kullanarak, Pisagor zamanında bile hesaplanabilirdi. Kırmızı üçgenin hipotenüsü √5 ve kırmızı karenin köşegeni √10 olarak hemen bulunur. Bu köşegen aynı zamanda, 8 köşeden geçen çemberin çapıdır. Çapı gören çevre açılar 90° olduğundan, mavi üçgenler dik üçgendir ve şekilde gösterilen uzunluklar kolayca bulunur.

Böylece, üç boyutlu cismin 5 farklı köşegenini iki boyutlu sekizgen üstünde görmüş olduk: √2, √5, √8, √9 ve √10. Ya diğer tamsayılar? √3 ve √4 sayılarını altıgen yüzeylerin köşegeni olarak hemen tanıyoruz. √7 ve √6 ise, aynı köşegenler üstünde çapı gören dik üçgenlerin uzun kenarları...

Köşegen uzunlukları, aynı zamanda maksimum uzaklıkları da gösteriyor:
* iki altıgen yüzey arası √6
* iki kare yüzey arası √8
* iki kenar arası √9
* iki köşe arası √10


Origami

Kesik sekiz-yüzlünün kağttan modelini yapmak için çok sayıda origami yaklaşımı var. Daha önce başka bir konuda anlatılan altıgen modelini kullanarak sayfanın başında gösterilen cismi yapabiliriz.
https://eyler.blogspot.com/2010/12/duzgun-altgen.html

Kesik sekiz-yüzlüden önce, daha basit kardeşi kesik dört-yüzlüyü yapalım. Altıgen modelimizden iki adet gerekiyor:

Modellerin biri sağa biri sola bakıyor

Altıgen yaparken hiç fark etmiyordu, ama burada modellerin biri sağa biri sola bakmalı, yoksa dört yüz birbiri üstüne kapanmaz. Kapatırken, yarım altıgenlerin bütün altıgenlerin içinde kalmasına dikkat edelim.

Altıgen ve kesik dört-yüzlü

Altıgen yaparken tek parça yeterli iken, kesik dört-yüzlü için iki, konumuz olan kesik sekizyüzlü için dört parça gerekiyor. Modellerin hepsi aynı yöne baksa da olur, sola ve sağa ikişer adet baksa da olur. (Üçü bir yana, dördüncü diğer yana bakarsa model kapanmaz.)

Kesik sekiz-yüzlü için 4 parça lazım

Kesik sekiz-yüzlüyü kapatmak için aynı yöne bakan iki parça yapışkan bant ile sabitlenirse, diğer iki parçayı eklemek daha kolay olacaktır. Aynı cismin hem çubuk hem de kağıt modeline sahip olunca, yukarıda anlatılan özellikler açıkça görülür.

Çubuk modeli içinde origami örneği

Ödev:

1. Şekildeki ikizkenar sekizgenin köşe koordinatlarını ve köşegen uzunluklarını cebirsel olarak bulun. (ipucu: z = 0 düzleminde çalışın)

2. Kare yüzeylerin denklemlerini bulun ve karşılıklı iki kare arasındaki uzaklığın √8 olduğunu gösterin.

3. Altıgen yüzeylerin denklemlerinin ±x±y±z = 3b olduğunu ve karşılıklı iki altıgen arasındaki uzaklığın √6 olduğunu gösterin. (ipucu: iki yüzeyin orta noktalarını bulun)

Lineer Denklemler

Lineer Cebir gözlüğü ile denklem sistemlerine bakınca, karşımıza üç soru çıkıyor:

1. Ah = 0 denklem sisteminin genel çözümü nedir?

2. A'nın satırlarından elde edilen alt-uzay nedir?

3. A'nın sütunları arasında nasıl bir ilişki vardır?

Denklem sayısı (m) ile bilinmeyen sayısı (n) eşit olduğunda, katsayılar matrisi tekil (singular) değilse tek çözüm vardır.  Bu durumda Ax = b denklem sistemi, matrisin tersini alarak çözülür. Denklem sayısı büyükse matrisin tersini hesaplamak zahmetli olabilir, yine de tek çözüm vardır ve başka yöntemlerle kolayca hesaplanabilir. Çözüm tek olduğu için, bu durumda söylenecek başka bir söz kalmıyor, yukarıdaki soruların cevapları hiç ilginç değil:

1. Ah = 0 denklem sisteminin tek çözümü var:  h = 0

2. A'nın satırları bağımsız olduğu için, satırlar bir baz oluşturur

3. A'nın sütunları bağımsız olduğu için, aralarında bir ilişki yok

Öte yandan, m<n ise sistemin sonsuz çözümü olabilir ve yukarıdaki soruların cevabını indirgenmiş matristen bulabiliriz. Üç bilinmeyenli iki denklem ile başlayalım (m=2, n=3) :

1x + 2y + 2z = 0
2x + 5y + 3z = 0

Bu sistemde denklem sayısı yeterli değil, sonsuz çözüm olmalı. Verilen değerleri bir A matrisine kaydedelim ve standart satır işlemleri kullanarak R matrisine indirgeyelim. "Tek çözüm" durumunda söz konusu olmayan bazı bilgilere bu matristen erişeceğiz.

(Bu sayfadaki örnekleri çözmek için yazılım gerekmiyor ama çözümü hızlandırdığı için kullanmayı tavsiye ediyorum. Buradaki bütün örnekleri Solver menüsünde bulacaksınız. "Solve" butonuna basmak yeterli olmuyorsa, manuel satır işlemleri ile sonuca ulaşılır.)

Bu tablodaki sayılar ile genel çözüme ulaştık:

x + 4z = 0
y −  z = 0

R matrisinde okunan 4 ve −1 değerleri, üç farklı uzayı tanımlıyor ve yukarıda verilen soruları cevaplıyor:

Öncelikle, iki pivot olduğu için rank(A) = 2

1. Sıfır uzayı (Null space): verilen Ah = 0 denklem sisteminin genel çözümü.
Baz:  h = (−4, 1, 1)

Pivot değişkenler x=−4z ve y=z olduğundan, çözüm h vektörünün katlarıdır. Pivot değişkenleri serbest z değişkeni cinsinden ifade edince, üç boyutlu uzayın tek boyutlu bir alt uzayı, zh doğrusu bulunur.

2. Satır uzayı (Row space): A'nın satırlarından elde edilen bütün denklemler.
Baz:  R1 = (1, 0, 4), R2 = (0, 1, −1)

Mesela, orijinal sistemdeki satırlar şöyle hesaplanır:

1 R1 + 2 R2 = (1, 2, 2)
2 R1 + 5 R2 = (2, 5, 3)

Satır uzayı bu iki vektörün tanımladığı

z = 4x−y düzlemidir. (neden?)

Bu düzlemin ve baz vektörlerinin, h vektörüne dik olduğuna dikkat! (neden?)

3. Satır uzayı iki boyutlu olduğundan, Sütun uzayı da öyle olmalı. Demek ki iki sütun yeterli, serbest değişkene karşı gelen C3, diğer iki sütun cinsinden yazılabilir. A ve R matrislerinin her satırı için z = 4x−y olduğuna göre, aynı ifade sütunlar için de geçerli:

C3 = 4C1 − C2

Cevapların içinde, R matrisinde okunan değerler açıkça yer alıyor.

Özet: R matrisindeki 4 ve −1 değerlerini kullanarak ulaştığımız sonuçlar:

* Sıfır uzayı (x=−4z ve y=z) için baz:  

h = (−4, 1, 1) 

iki düzlemin kesiştiği vektör

* Satır uzayı (z = 4x−y) için baz: 

R1 = (1, 0, 4),  R2 = (0, 1, −1) 

düzlemi belirleyen iki vektör

* Sütunlar arasındaki ilişki:

C3 = 4C1 − C2

aynı düzlemin denklemi

Sonraki örnekte satır ve sütun toplamları sıfır olan 4x4 bir matris verilmiş:

R matrisinde okunan 1, 2, −2, −3 değerleri alt-uzayları tanımlıyor. Bu örnekte m = n = 4 ve rank(A) = 2 olduğundan bütün bazlarda ikişer vektör olmalı.

* Sıfır uzayı için baz:

h1 = (−1, −2, 1, 0),  h2 = (2, 3, 0, 1) 

* Satır uzayı için baz:

R1 = (1, 0, 1, −2),  R2 = (0, 1, 2, −3) 

A'nın ilk satırı:  −8R1 + 7R2 = (−8, 7, 6, −5)

* Sütunlar arasındaki ilişki:

C3 = C1 + 2C2,  C4 = −2C1 − 3C2

Ödev

1. Aşağıdaki örneklerde bir değişken daha eklenmiş. Alt-uzay bazlarını bulun ve sütunlar arasındaki ilişkiyi sağlayın. [Fakıoğlu s.121, s.123]

* Pivot sayısı 3 olduğu için rank(A) = 3

* Sütunlar arasındaki ilişki:

C2 = −2C1,  C5 = 2C1 − C3 + 3C4

2. Yukarıdaki matriste işaretli 3 değerini 4 yaptıktan sonra elde edilen sistemi çözün.
ipucu: rank(A) = 4, yani 4 adet pivot olmalı.

* Sütunlar arasındaki ilişki:

C2 + C3 + C5 = 3C4

3. Aynı kısımda son örneğe bakalım:  [Fakıoğlu s.124]

* Sütunlar arasındaki ilişki: (Kitaptaki cevap hatalı)

C3 = 2C1 − C2 ,  C5 = − C1 + 3C2 + 2C4

Referans

1. Gilbert Strang, Introduction to Linear Algebra 5th Edition (2016) -- Section 3.5

2. Seyfettin Fakıoğlu, Linear Algebra, FSM Vakıf University (2015) -- Kısım 3.5

3. M Akif Eyler, Solver (2019) -- Lineer denklemler için yazılım desteği

Başlarken

Matematiğin faydasından çok güzelliğini vurgulayan bu sayfalarda bir düzine ilginç konu bulacaksınız. Matematikçi, yaptığı işin faydasını ve uygulamasını asla düşünmez. Onun için en önemli motivasyon, gizli kalmış hakikatleri gün ışığına çıkartmaktan ibaret. Daha sonra diğer bilimlerde ya da mühendislikte uygulama alanı bulunursa ne ala... Bulunmazsa da matematikçinin umurunda değil...

Konuları seçerken, Marmara Üniversitesinde 2008-2016 arasında verdiğim IE 701 (Engineering Mathematics) doktora dersinin muhtevasını kullandım. Dersin önemli özelliği, haftalık ödevlerle bu hakikatleri öğrencinin tekrar keşfetmesini sağlamak oldu. Dersimiz mühendislik kodlu olduğu için, uygulama alanı bulunan konulara ağırlık verdik. Dersin yaklaşık üçte birini bu konular kaplıyordu.

Bu sayfalarda verilen kanıtlar, bir matematikçinin aradığı titizlik ve katılıktan uzak. Buna rağmen, arka planda doğruluğu şüphesiz olan hakikatlerin neden doğru olduğunu meraklı okuyucuya anlatıyor.

Öte yandan, bu konuların hiçbiri okuyup geçilecek hafiflikte değil. Ciddi bir matematik okuyucusu kağıt kalem ile şekilleri çizmeli, formülleri türetmelidir. Bununla yetinmeyip, verilen kanıtları sayılarla doğrulamalıdır. Ancak o zaman konuyu anlamak yönünde ilerlemiş olur.


Haftalık Konu Listesi

Introduction and Proportion
Similarity and The Golden Mean
Graphs and Maps
Polyhedra: Platonic Solids
Transformation of the Platonic Solids
Uniform Polyhedra
(Midterm)
Natural and Rational Numbers
Complex Numbers: FT of algebra
Functions and Limits
Calculus: Integral and Derivative
Fundamental theorem of calculus
Computational complexity
NP-completeness


Referans

Söz konusu derste iki kitap kullandık:

1) J Kappraff, Connections: The Geometric Bridge Between Art and Science, 1991
Dersin geometri ağırlıklı ilk yarısında, şekiller ve simetri çalışırken, Connections temel kaynağımız oldu.

2) R Courant, H Robbins, What Is Mathematics? 1941
Sayılar ve forksiyonlar ile uğraşan analiz ağırlıklı ikinci yarıda da bu kitap temelimiz oldu.

Konular

• 
  
• Pisagor Teoremi
• Üçgenin Alanı
• Altın Oran
• Euler Formülü
• Çokyüzlüler
• Kübik Simetri
• Çokyüzlü Dönüşümleri
• Tamsayılarla 4 İşlem
• Sayı Türleri
• Kare Kök
• Temel Fonksiyonlar
• Süreklilik
• Cebirin Temel Teoremi
• Integral ve Türev
• Algoritmalar

Yazar: M. Akif Eyler

• Marmara Üniversitesi
  
• github.com/maeyler
  
• Blogger
  
• AMS
  

Pisagor Teoremi

Ortaokul yaşlarında öğrenip de hayran kaldığım bu hakikatin neden doğru olduğunu o zaman çok merak etmiştim. Meğer yüzlerce ispatı varmış. Penrose bunlardan ikisini öyle vermiş ki, tekrar hayrete düştüm, yeniden hayran kaldım. Bir bilmece ile başlayalım: Farklı boyda iki kare verilmiş, bunları düz çizgilerle kesip yeniden düzenleyerek büyük bir tek kare yapabilir misiniz? Aşağıdaki şekil, bunun nasıl olacağını kolayca gösteriyor:

Büyük kare üstünde a uzunluğunu işaretledikten sonra, iki kareyi yan yana koyalım. Birbirine dik iki darbe ile kareleri beş parçaya bölelim. Üç parçanın yerini değiştirerek büyük kare kolayca elde edilir.

En sağdaki üçgenin kenarları arasında a² + b² = c² eşitliğini göstermiş olduk. 2500 sene önce İyonya'da yaşamış Pisagor'un adını taşıyan bu teoremin yüzlerce ispatından en güzel ve basit beş tanesini buraya aldım.

Teoremin cebir-geometri karışık ispatları pek hoştur:

Soldaki şekilde, her üçgenin alanı ab/2 olduğundan, (a+b)² − 2ab = c² ifadesi bir hamlede sonuca ulaşıyor. Sağda ise, (b−a)² + 2ab = c² eşitliği aynı sonucu veriyor.

Penrose'un verdiği ilk kanıt sadece geometri kullanıyor, cebir yok:

İki üçgeni ötelemek yeter, ne sayı ne de söz gerekiyor...

Benzer Üçgenler
Pisagor teoreminin en çarpıcı kanıtları benzerlik üstüne kurulmuş:

Düşey çizginin ayırdığı iki üçgenle, asıl üçgenin benzerliği çok açık.
Küçük üçgende p/a = a/c ==> a² = pc
Büyük üçgende q/b = b/c ==> b² = qc
İki tarafı toplayıp c = p+q olduğunu görmek yeterli.

Penrose'un verdiği ikinci kanıt da aynı benzerliği kullanıyor. Şekildeki üç üçgen benzer olduğu için, her birinin alanı uzun kenarının karesi ile orantılı. Üçgenlerin alanları S1 + S2 = S olduğundan, a² + b² = c².

Geometrik Kanıt
Buraya aldığım ispatları Euclid beğenip de kitabına koymazdı. Çünkü hiçbiri temel aksiyomlara kadar inen bir mantık zinciri değil. Pisagor'dan 250 yıl sonra yazılan Elements isimli geometri kitabında temellere dayanan ispatı basitleştirerek buraya alalım:

Şekildeki mavi ve sarı üçgenler eşit. Sarı üçgenin alanı, karenin alanının yarısı: a²/2. Mavi üçgen ise soldaki dikdörtgenin yarısı, yani o da a². Aynı şekilde, sağdaki dikdörtgenin alanı b² olduğuna göre, a² + b² = c² bulunur.

Ödev

a²+b²+c² = d² denklemine tamsayılı çözümler bulun


Referans

Bu yazının aslı, 2007 yılında İki Kareden Tek Kareye olarak yayınlanmıştı

Roger Penrose, The Road to Reality: A Complete Guide to the Laws of the Universe, 2004

Pythagorean theorem:
Wikipedia
Mathworld
Mathsisfun
Cut-the-knot